直线与平面垂直的判定

1、直线与平面垂直的概念和判定,2.3.1 直线与平面垂直的判定,问题提出,1.前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质，对于直线与平面相交，又有哪些相关概念和原理？我们有必要进一步研究.,2.直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，我们如何从理论上加以认识？,直线与平面垂直的 概念和判定,知识探究（一）：直线与平面垂直的概念,思考1：田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？,思考2：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？,思考3：如图，在阳光下观

2、察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？,思考4：上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为直线与平面垂直.一般地，直线与平面垂直的基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？,如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.,思考5：在图形上、符号上怎样表示直线与平面垂直？,思考6：如果直线l与平面垂直，则直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足.那么过一点可作多少条平面的垂线？过一点可作多少个直线l的垂面？,知识探究（二）：直线与平面垂直的判定,思考1：对于一

3、条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？,思考2：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.,如果直线l与平面内的两条直线垂直，能保证l吗？,如果直线l与平面内的一条直线垂直，能保证l吗？,思考3：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面的位置关系.,思考4：由上可知当折痕AD垂直平面内的两条相交直线时，折痕AD与平面垂直.由此我们是否能得出直线与平面垂直的判定方法？,如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌面所在的平面垂直？,定理： 如果一条直线和一个平面内的

4、两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.,思考6：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？,理论迁移,例1 已知 .求证：,例2 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1CB1D1，说明你的理由.,ACBD,直线和平面 所成的角,当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析.,知识探究（三）：平面的斜线,思考1:当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫

5、做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条？,思考2:过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影.那么斜线l在平面内的射影有几条？,思考3:两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？,知识探究（四）：直线和平面所成的角,思考1:平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？,思考2:如图，AB为平面的一条斜线，A为斜足，AC为平面内的任意一条直线，能否用BAC反映斜线AB与平面的相对

6、倾斜度？为什么？,思考3:反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？,思考4:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.在实际应用或解题中，怎样去求这个角？,思考5:特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0.这样，任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的角的取值范围是什么？,思考6:如图，BAD为斜线AB与平面所成的角，AC为平面内的一条直线，那么BAD与BAC的大小关系如何？,BAC B

7、AD,理论迁移,例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.,作业,P67 练习： 1. P74习题2.3B组：2，4.,例4 在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB，D为PB的中点，求证：ADPC.,思考6:如图，直线l是平面的一条斜线，它在平面内的射影为b，直线a在平面内，如果ab，那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？,2.3.2 平面与平面垂直的判定,二面角的有关概念,问题提出,1.空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个

8、平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？,二面角及其平面角,知识探究（一）：二面角的有关概念,思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？,思考2:将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角，你能画一个二面角的直观图吗？,思考3:在平面几何中，我们把角定义为“从一点出

9、发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种定义方式，二面角的定义如何？,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,思考4:下列两个二面角在摆放上有什么不同？,思考5:一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面、都叫做二面角的面，二面角通常记作“二面角-l-”.那么两个相交平面共组成几个二面角？,知识探究（二）：二面角的平面角,思考1:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？,思考2:我们设想用一个平面角来反映二面角的两个半平面的相对倾斜度，那么平面角的顶点应选在何处？

10、角的两边在如何分布？,思考3:在二面角-l-的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用AOB来刻画二面角的张开程度？,思考4:在上图中如何调整OA、OB的位置，使AOB被二面角-l-唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？,思考5:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？,以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,思考6:二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 当二面角的两个面重合时，二面

11、角的大小为多少度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？,思考7:如图，过二面角-l-一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则AOB是二面角的平面角吗？为什么？,思考8:如图，平面垂直于二面角的棱l，分别与面、相交于OA、OB，则AOB是二面角的平面角吗？为什么？,理论迁移,例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值.,例2 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为 ，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处

12、，此时人升高了多少m？,例3 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.,作业: P73习题2.3 A组：4，7.,平面与平面垂直,2.3.2 平面与平面垂直的判定,问题提出,1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？,(1)顶点在棱上；,(2)边在两个面内；,(3)边垂直于棱.,平面与平面垂直,2.直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？我们从理论上作些探讨.,知识探究（一）：两个平面垂直的概念,思考1:空间两条直线垂直是怎样定

13、义的？直线与平面垂直是怎样定义的？,思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？,思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？,思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？,思考5:如果平面平面，那么平面内的任一条直线都与平面垂直吗？,知识探究（二）：两个平面垂直的判定,思考1:根据定义判断两个平面是否 垂直需要解决什么问题？,思考3：在二面角-l-中，直线m在平面内，如果m，那么二面角-l-是直二面角吗？,思考4:根据上述分析，可以得到两个

14、平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？,如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.,思考5:结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？,理论迁移,例1 如图，O在平面内，AB是O的直径，PA，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC平面PBC.,例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC平面PCD.,例3 在四面体ABCD中，已知ACBD，BAC=CAD=45，BAD=60， 求证：平面ABC平面ACD.,作业: P73习题2.3A组：3. P74习题2.3B组：1.,2.3.3 直线

15、与平面垂直的性质,问题提出,1.直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？,2.直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？,直线与平面 垂直的性质,知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理,思考1:如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？,思考2:如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？,思考3:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？,思考4:如果直线a，b都垂直于平面，由观察可

16、知a/b，从理论上如何证明这个结论？,思考5：根据上述分析，得到一个什么结论？,定理 垂直于同一个平面的两条直线平行,思考6:上述定理通常叫做直线与平面垂直的性质定理.用符号语言可表述为： .该定理有什么功能作用？,思考1:设a，b为直线，为平面，若a，b/a，则b与的位置关系如何？为什么？,知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究,思考2:设a，b为直线，为平面，若a，b/，则a与b的位置关系如何？为什么？,思考3:设l为直线，为平面，若l，/，则l与的位置关系如何？为什么？,思考4:设l为直线，、为平面，若l，l，则平面、的位置关系如何？为什么？,理论迁移,例1 如图，已知 于点A， 于点B

17、， 求证： .,（2）若 ，求证：MN 面PCD,P,A,B,C,D,M,N,2.3.4 平面与平面垂直的性质,问题提出,1.平面与平面垂直的定义是什么？如何判定平面与平面垂直？,2.平面与平面垂直的判定定理，解决了两个平面垂直的条件问题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？,定义和判定定理,平面与平面 垂直的性质,知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理,思考1:如果平面与平面互相垂直，直线l在平面内，那么直线l与平面的位置关系有哪几种可能？,知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理,思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？,思考3:一般地， ,垂足为B，那么直线AB与平面 的位置关系如何？为什么？,思考4:据上分析可得什么定理？试用文字语言表述之.,定理 若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.,思考5:上述定理通常叫做两平面垂直的性质定理，结合下图，如何用符号语言描述这个定理？该定理在实际应用中有何理论作用？,知识探究（二）平面与平面垂直的性质探究,思考1:若，过平面内一点A作平面的垂线，垂足为B，那么点B在什么位置？说明你的理由.,思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，