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1、2020/11/11,1,随机过程教程第6讲 记忆特性随机过程,2020/11/11,2,记忆特性随机过程,纯粹独立随机过程 设有时间连续（时间离散随机 ）过程 ，任 意时刻 ， 相互独立，称为纯 粹独立随机过程。,N维时，,2020/11/11,3,纯粹独立随机过程,时间连续 客观上难以存在 但可以作为理想白噪声的模型 时间离散 客观上是存在的 常作为时间离散白噪声的模型 特例：独立同分布序列：离散纯粹独立随机过程的每个随机变量都具有相同的概率分布函数。,2020/11/11,4,独立增量过程,设有时间连续（时间离散随机 ）过程 ，任 意时刻 ， 相互 独立，称为独立增量随机过程。,独立增量

2、过程,2020/11/11,5,独立增量过程,pmf和cdf的表示,记,概率密度函数为,2020/11/11,6,离散时间独立增量过程的例子：和过程,定义： 为一个独立同分布序列， 为和过程。,2020/11/11,7,性质 pmf性质 和过程的例子 二项计数过程 一维随机游走过程,离散独立增量过程,2020/11/11,8,醉汉开始从一根电线杆的位置出发（其坐标为x=0 ， x坐标向右为正，向左为负），假定醉汉的步长为l，他走的每一步的取向是随机的，与前一步的方向无关。如果醉汉在每个时间间隔内向右行走一步的几率为p，则向左走一步的几率为q=1-p，记录醉汉向右走了R步， 向左走了L步， 即总

3、共走了N步。那末醉汉在行走了 N步以后，离电线杆的距离为 x，其中 x=(R-L)l。然而我们更感兴趣的是醉汉在行走N 步以后，离电线杆的距离x的概率P 。,一维随机游走过程和二项计数过程,2020/11/11,9,参数为p的bernoulli独立同分布序列Xn，其和过程Yn称为二项计数过程。,离散独立增量过程,2020/11/11,10,离散独立增量过程,2020/11/11,11,离散独立增量过程,2020/11/11,12,离散独立增量过程,以均值和方差为例,2020/11/11,13,离散独立增量过程,2020/11/11,14,连续时间独立增量过程,Poisson过程 Poisson

4、过程的导出过程 Wiener过程,2020/11/11,15,定义 称一个随机过程 是一个计数过程 (point process),若N(t) 满足:,1) N(t)取非负整数值；,2）若st,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t 中“事件”发 生的次数.,Poission过程,2020/11/11,16,背景:考虑在时间间隔(0,t中某保险公司收到的某类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类过程有如下特点: (1)零初值性：N（0）=0； (2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立； (3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的概率规律是一样的; (4)普通性:在非

5、常短的时间区段t内的理赔次数几乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与 t成正比.,Poission过程的定义,2020/11/11,17,定义:计数过程N(t),t0称为具有参数(或强度) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t0和充分小的 ，有 其中 为 的高阶无穷小。又称 为Poission过程的强度系数,Poission过程的定义,发生的概事件率和 时间近似成正比,2020/11/11,18,定理 若N(t),t0为Poission过程，则,可得到Poission过程的等价定义:,1）

6、N(0)=0 ， 2）独立增量过程; 3）发生的概事件率和时间近似成正比,此即,Poission过程,2020/11/11,19,一阶概率质量函数,Poission过程,2020/11/11,20,Poisson过程的一阶概率密度函数,极值点 K=3, 黄线 K=5, 绿线 K=7, 红线,2020/11/11,21,Poisson过程的数字特征,2020/11/11,22,例 设N(t)表示0,t时段内事件A的发生次数,且N(t),t0 形成强度为的Poisson过程. 如果每次事件A发生时以概率p能够被记录下来, 并以M(t)表示到t时刻记录下来的事件总数, 试证明M(t),t0 形成强度

7、为p 的Poisson流.,解：对照Poisson过程的定义 1) M(t),t0是一计数过程,且M(0)=0 ; 2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的记录独立，故M(t),t0具有独立增量性； 只需验证 3),2020/11/11,23,由全概率公式，,2020/11/11,24,设首次地震发生(t=0)后的一段时间内，破坏性余震发生序列是一个强度为(次/小时)的泊松过程.任意时刻t0,以V(t)表示t时刻之前最后一次破坏性余震直到t时刻所经历的时间;以W(t)表示t时刻之后直到下一次破坏性余震发生的剩余时间. (1)求V(t)与W(t)的分布函数; V(t)与W(t)独立吗? (

8、2)已知在此之前最后一次破坏性余震发生到现在已过了s小时,求未来t小时内没有破坏性余震发生的概率.,2020/11/11,25,解: (1),2020/11/11,26,因为泊松过程是独立增量过程,故V(t)与W(t)独立.,(2),2020/11/11,27,设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示在0,t内事件发生的次数，令 ， 表示第k个事件发生的时刻; 表示第k-1个事件与第k个事件发生的时间间隔，即,先讨论到达时间间隔 的Tk分布.,泊松过程的性质:Poisson间隔,2020/11/11,28,定理 到达时间间隔序列 相互独立同分布，且服从参数为 的指数分布.,定理 提供了Pois

9、son过程的参数估计方法.,Poisson过程停留于某个状态的时间 Poisson间隔是指数分布随机变量,总结:,泊松过程的性质:Poisson间隔,2020/11/11,29,参数的极大似然估计: 一般地, 若从0时刻开始, 观察到Poisson过程N(t),t0的一段样本轨道:1, n的取值: t1t2,tn , 由于, 1 , 2- 1, n- n-1独立同指数分布, 于是似然函数为,令,得的极大似然估计为:,2020/11/11,30,定理 到达时间 的概率密度函数为,定理 提供了Poisson过程的参数的区间估计法: 根据定理, 的概率密度函数为,备查：1） 的特征函数为,分布函数为

10、：,2020/11/11,31,2020/11/11,32,定理 若计数过程N(t),t0的到达时间间隔序列 是相互独立同参数为的指数分布，则 N(t),t0是参数为的泊松过程.,定理 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的随机数, 将其作为Ti, i=1, 即可得到Poisson过程的一条样本轨道.,2020/11/11,33,设有n位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系统.假定每位顾客的服务时间独立,均服从参数为的指数分布.以N(t)表示到t时刻为止已被服务过的顾客人数.求 （1）EN(t); （2）第n位顾客等候服务时间的数学期望; (3)

11、第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.,提示: 的分布函数是,例,2020/11/11,34,解:（1）, N(t),t0为强度possion 过程，故 EN(t)=t ； （2）记第n位顾客完成服务的时间为 ，第n位顾客等候服务时间为,(3)根据定理,或,2020/11/11,35,Poisson过程性质:事件发生时刻的均匀性,设Poisson过程在 内事件只发生了一次，x为在 内事件发生的时刻 （证明略） 说明了Poisson过程事件发生的时刻具有均匀性,2020/11/11,36,Wiener过程 一维Wiener过程,一维随机游走过程的推广 均值 方差 一阶概率密度函数 高阶概率密度函数,X(t)是一个粒子在时刻t