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文档简介

1、2.6 欧拉角和RPY角,旋转矩阵有9个元素，但这些元素满足6个约束方程，只有三个独立变量。对于如下的旋转矩阵：,其中元素满足如下的约束条件：,一. 绕固定轴x-y-z旋转（RPY角）,这种描述方法与操作臂末端执行器坐标系的规定方法类似，如下图示：,z,y,x,图2-6 RPY表示,图2-7 RPY角,坐标系的运动方式：B的初始方位与坐标系A重合，首先使B绕xA旋转 角，再绕yA转 角，最后绕zA转 角。,z,y,x,1、RPY角对应的旋转矩阵,根据坐标系的变换关系，坐标系B相对于A的旋转矩阵为：,已知旋转矩阵 ，令该矩阵中的元素和矩阵 中的元素对应相等，得到：,通过比较，可以得到： ，通常规

2、定,2、旋转矩阵对应的RPY角,所以可以得到：,其中， 称为“四象限反正切函数” 。,如果 ，则可以得到：,如果 ，则只能得到 和 的和或差。通常选择,如果 ，可以得到：,如果 ，可以得到：,坐标系的运动方式：B的初始方位与坐标系A重合，首先使B绕zB旋转 角，再绕yB转 角，最后绕xB转 角。,二. z-y-x欧拉角,图2-8 z-y-x欧拉角,z,y,x,绕固定轴x-y-z旋转得到的旋转矩阵与绕运动坐标系z-y-x旋转得到的旋转矩阵相同。,注意：,坐标系的运动方式：B的初始方位与坐标系A重合，首先使B绕zB旋转 角，再绕yB转 角，最后绕zB转 角。,三. z-y-z欧拉角,给定旋转矩阵

3、，令该矩阵中的元素和矩阵,中的元素对应相等，可以得到：,如果 ，或 ，则只能得到 和 的和或差。,如果 ，可以得到：,如果 ，可以得到：,通常取 。,绕 x, y, z 轴旋转一个角所得到的旋转变换矩阵是 1 0 0 R ( x, ) = 0 cos - sin 0 sin cos cos 0 sin R ( y, ) = 0 1 0 - sin 0 cos cos - sin 0 R( z, ) = sin cos 0 0 0 1,2.7 旋转变换通式,xA,yA,zA,xB,yB,zB,一. 旋转变换通式,坐标系B由坐标系A绕 轴旋转 角得到。同时坐标系 与坐标系A 具有固定的位姿， A旋转到B时， 旋转到 ，所以得到：,xA,yA,zA,xB,yB,zB,又因为,所以可以得到：,运用旋转矩阵的正交性质，可以得到：,二. 等效转轴和等效转角,给定旋转矩阵 ，求对应的等效旋转轴 和等效转角,设 ，,令,得到：,方程两边矩阵的非对角元素成对相减，得到：,所以整理后得到：,所以，,所以：,方程两边矩阵的非对角元素成对相减，得到：,所以整理后得到：,（1） 和 值并不唯一，一般

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