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1、常微分方程 第二章 初等积分法(4) 主讲人：富明慧 教授 ,一 已知曲线族的等角轨线族,2.6 应用举例,求曲线族：,使,中任意一条曲线与,的所有曲线的夹角 为恒定值。,，称这样的曲线族（2）,为已知曲线族（1）的等角轨线族。,1、基本概念 已知曲线族：,当,时，称曲线族（2）为（1）的正交轨线族,，,，,2 已知曲线族的微分方程,消去上式中的C，既得相应微分方程：,由,再利用,其中,是由,决定的函数,（4）,方程（4）在点,的线素斜率记为,，而把与它相交成,角的线素斜率记为,。,当,时，有,从而等角轨线的微分方程为,3 等角轨线族的微分方程,由三角公式：,得：,当,时，有,，,即所求正交轨

2、线的微分方程为,（6）,注意，在方程（4），（5）与（6）中的函数,是相同的。,（5）,求解微分方程（5）（或（6），就可以得到（1）的等角轨线族（或正交轨线族）（2）。 需要注意的是，在推导方程（4）时，,。,这样，由,可以决定y是x的单值函数。,而,则可决定x是y的函数。然后进行类似推导。,若,将微分方程 (4),(5)和(6)改变为对称形式，就不必区分上述两种情形。,应有,等角轨线族不仅在数学本身有用（例如当,它们可以取为坐标系），而且在某些物理与力学问题中也有用， 例如静电场中的电力线与等势线就是互相正交的曲线族。作为 一个例子，设电力线族的方程为,（K为参数）， 这是一个抛物线族,时

3、，,从联立方程,（7）,中消去,，得到一个对称形式的微分方程,。因此，,与之正交的曲线族的微分方程为,，它的通积分为,。这就是所求的等势线族（同心椭圆族）。,二人口增长模型,用,表示某地区在时间,的人口总数,记,为人口增长率（出生率与死亡率之差）。,由于在,时间内的平均增长率为,，其中,为人口的增量，所以,即,（8）,这就是人口总数N所满足的微分方程。 马尔萨斯人口模型：假设r为常数,初值问题,（9）,的解为,（10）,人口是按指数曲线增长的，显然不符合实际。 修正模型：,（11）,假设,其中正数a和b称为生命系数。一些生态学家测得a的自 值为0.029，而b的值则取决于各地区社会经济条件。

4、方程（8）修正为,（12）,这是一个变量分离的方程。 初值问题：,（13）,的解为,（14）,美国和法国曾用这个公式预报过人口的变化，结果与实际十分 吻合；而比利时则不甚符合，原因是当时比利时向刚果进行着 大量移民。至于我国，见书里P57， 即取,1979，,=9.7092乘,，r0=0.0145,则由（11）式可得,利用公式（14）可以对我国大陆地区的人口总数作出估算。,（15）,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随时间的变化关系为,食饵（甲）数量 y(t), 捕食者（乙）数量 x(t),甲独立生存的增长率,乙使甲的增长率减小，减小量与 x成正比,乙独立生存的死亡率,甲使乙的死亡率减小，减小量与 y成正比,食饵-捕食者

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