5三角形内角和定理第2课时

1、5 三角形内角和定理,第2课时,1.了解三角形外角的概念. 2.掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明. 3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.,1.证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;,(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.,2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180. AB

2、C中,A+B+C= 180. A+B+C= 180的几种变形: A= 180(B+C). B= 180(A+C). C= 180(A+B). A+B= 180-C. B+C= 180-A. A+C= 180-B. 这里的结论,以后可以直接运用.,如图. 1是ABC的一个外角, 1与图中的其他角有什么关系? 1+4=180； 12； 13； 1=2+3.,证明:2+3+4=180 (三角形内角和定理), 1+4=180 (平角的定义), 1= 2+3.(等量代换). 12,13(和大于部分). 用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻

3、的内角.,在这里,我们通过三角形的内角和定理 直接推导出两个新定理.像这样,由一 个基本事实或定理直接推出的定理, 叫做这个基本事实或定理的推论. 推论可以当做定理使用. 三角形内角和定理的推论: 定理: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 定理: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,ABC中: 1=2+3; 12,13. 这个结论以后可以直接运用.,例1 已知:如图,在ABC中,AD平分外角EAC, B= C. 求证:ADBC. 分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等” 或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明:EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻

4、的两个内角的和),B=C (已知), C= EAC(等式的性质). AD平分 EAC(已知). DAC= EAC(角平分线的定义). DAC=C(等量代换). ADBC(内错角相等,两直线平行).,例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.,【例题】,例1 已知:如图,在ABC中,AD平分外角EAC, B= C. 求证:ADBC. 分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等” 或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明:推理可得: DAC=C (已证), BAC+B+C =180(三角形内角和定理). BAC+B+DAC =180 (等量代换). ADBC(同旁内角互补,两直线平

5、行). 总结 这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.,A,C,D,B,E,例2 已知:如图,在ABC中, 1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延 长BC到D,连接DE. 求证: 12.,【例题】,证明:1是ABC的一个外角(已知), 13(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). 3是CDE的一个外角 (外角定义). 32(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). 12(不等式的性质). 把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项转化为一种方法.,A,B,C,1.已知:如图所示,在ABC中,外角DCA=100,A=45. 求:B和ACB的

6、大小.,【跟踪训练】,【解析】DCA是ABC的一个外角(已知), DCA=100(已知), A=45(已知), B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又DCA+BCA=180(平角定义). ACB=80(等式的性质).,2.已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:A+B+C+D+E的度数. 分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.,【解析】 1是BDF的一个外角(外角的定义), 1=B+D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又 2是EHC的一个外角(外角的定义), 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不

7、相邻的两个内角的和). 又A+1+2=180(三角形内角和定理). A+B+C+D+E =180(等式的性质).,3.已知:如图所示. 求证:BDCA. 证明:(1) BDC是DCE的一个外角 (外角定义), BDCCED(三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角). DEC是ABE的一个外角 (外角定义), DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). BDCA .（不等式的性质）,1.（河北中考）如图，在 ABC中，D是BC延长线上一点， B = 40，ACD = 120， 则A等于( ) A.60 B.70 C.80 D.90 【解析】选C.根据三角形外角的性质可得，

8、ACD =B+A，所以A=ACD -B= 120-40= 80.,2.如图，ABCD，则下列说法正确的是( ) A.3=21+2 B.3=21-2 C.3=1+2 D.3=180-1-2 【解析】选C.ABCD，1=BCD， 3是COD的外角， 3=2+BCD=2+1.,3.如图，直线ab,则ACB=_. 【解析】延长BC交直线a于点D， 直线ab, ADC=B=50. ACB是ACD的外角， ACB=A+ADC=28+50=78. 答案：78,4.如图，已知CE为ABC外角ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：BACB. 【证明】CE平分ACD 1=2 BAC1 BAC2 2B BACB,理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 三角形内角