二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)

1、二次函数图像和性质，解析式求法知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数知识精讲一二次函数的概念1二次函数的定义：一般地，形如 （为常数，）的函数称为关于的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 2二次函数的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是三点剖析一考点：二次函数的概念二重难点：二次函数的概念三易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制题模精讲题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A y=3x1B y=ax2+bx+cC s=2t22t+1D y=x2+例1.1.2 若是二次函数，

2、则的值是（ ）A B C D 例1.1.3 若是二次函数，则的值是_例1.1.4 二次函数y=ax2+bx-1（a0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（）A -3B -1C 2D 5随堂练习随练1.1 已知函数，其中二次函数的个数为（ ）随练1.2 已知函数，当_时，它是二次函数随练1.3 中考）抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=_y=ax2的图象和性质知识精讲一的图象与性质的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三点剖

3、析一考点：的图象与性质二重难点：1的图象与性质；2对于和，若，则和的函数图像是全等的三易错点：开口大小由决定，越大，开口越小题模精讲题模一：y=ax2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax2的图象经过点P（-2，4），则该图象必经过点（）A （2，4）B （-2，-4）C （-4，2）D （4，-2）例2.1.2 若二次函数有最大值，则_例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数，和的图象例2.1.4 已知，点，都在函数的图象上，则（ ）A B C D 随堂练习随练2.1 已知二次函数经过点，点也在该二次函数图像上，且，则点的坐标为（ ）A B C D 随练2.2 若二次函数有最小值

4、，则_随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数，的函数图像y=a（x-h）2+k的图象和性质知识精讲一（）的图像和性质（）是二次函数的顶点式，其中为其顶点坐标，为其对称轴一般式配成顶点式的方法：的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值二（）图像的平移变换函数的图象可以看做是由函数的图象先向左或向右平移个单位，再向上或向下平移个单位得到的；当时，向右平移，当时，向左平移；时，向上平移，时，向下平移平移原则：左加右减，上加下减例如：将向左或右平移个单位变为，向右平移个单位变为；向上或下平移个单

5、位后变为，先向左平移个单位再向下平移个单位后变为三点剖析一考点：的图像和性质，图像的平移变换二重难点：的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则三易错点：1在判断图像的增减性时一定要先确定开口方向；2左右平移是针对，上下平移是针对题模精讲题模一：y=a（x-h）2+k的图象和性质例3.1.1 抛物线的顶点坐标是（ ）A B C D 例3.1.2 将二次函数化成形式，则结果为（ ）A B C 3D 例3.1.3 已知二次函数的图象上有三点，则、的大小关系为（ ）A B C D 题模二：y=a（x-h）2+k平移变换例3.2.1 抛物线是由抛物线平移得到的，下列对于抛物线的平移过程叙述正确的是

6、（ ）A 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位随堂练习随练3.1 已知抛物线，下列说法正确的是（ ）A 开口向下，顶点坐标B 开口向上，顶点坐标C 开口向下，顶点坐标D 开口向上，顶点坐标随练3.2 将二次函数化成的形式，结果为（ ）A B C D 随练3.3 设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A y1y2y3B y1y3y2C y3y2y1D y3y1y2随练3.4 抛物线经过

7、平移得到抛物线，平移的方法是（ ）A 向左平移1个单位，再向下平移2个单位B 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 向右平移1个单位，再向上平移2个单位随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A B C D y=a2+bx+c的图象和性质知识精讲一的图象及性质：的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值二二次函数图象的画法：1五点绘图法：利用配方法将二次函数化为

8、顶点式，一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点三点剖析一考点：的图象和性质二重难点：的图象和性质，参数对图像的影响三易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像题模精讲题模一：y=a2+bx+c的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（xh）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1x3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）A 1或5B 1或5C 1或3D 1或3例4.1.2 点P1（1，y1

9、），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A y3y2y1B y3y1=y2C y1y2y3D y1=y2y3例4.1.3 二次函数y=（x1）2+5，当mxn且mn0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A B 2C D 例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若，求二次函数的最大值他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论他的解答过程如下：二次函数的对称轴为直线，由对称性可知，和时的函数值相等若，则时，y的最大值为2；若，则时，y的最大值为请你参考小明的思路，解

10、答下列问题：（1）当时，二次函数的最大值为_；（2）若，求二次函数的最大值；（3）若时，二次函数的最大值为31，则t的值为_题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：b0，c0；a+b+c0；方程的两根之和大于0；ab+c0，其中正确的个数是（）A 4个B 3个C 2个D 1个例4.2.2 一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A B C D 例4.2.3 二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围随堂练习随练4.1 若，为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是

11、（ ）A B C D 随练4.2 y=x2+（1-a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1x3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A a-5B a5C a=3D a3随练4.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1，有以下结论：abc0；4acb2；2a+b=0；ab+c2其中正确的结论的个数是（）A 1B 2C 3D 4随练4.4 在同一直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图像可能是（ ）A A图B B图C C图D D图随练4.5 如图，二次函数的图象经过点对称轴为直线，下列5个结论：；其中正确的结论_（注：只填写正确结论的序号）随练4

12、.6 已知函数（）的图象，如图所示求证：二次函数解析式的求法知识精讲一二次函数的解析式1. 一般式：；2. 顶点式：；3. 两根式（交点式）：（，是方程的两个解）.二如何设解析式1. 已知任意点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）三点剖析一考点：二次函数解析式的求法二重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物

13、线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 三易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为，错把解析式设为题模精讲题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线经过点，（1）填空：抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ；（2）求该抛物线的解析式题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数化成形式，则结果为（ ）A B C 3D 例5.2.2 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为_题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，且抛物线过点，求二次函数的解析

14、式例5.3.2 已知抛物线经过，两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式随堂练习随练5.1 已知一个二次函数过，三点，求二次函数的解析式随练5.2 将二次函数化为的形式，结果为（ ）A B C D 随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式随练5.4 已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是_随练5.5 已知抛物线经过点和点，且顶点到轴的距离为，求抛物线的解析式二次函数与一元二次方程知识精讲一二次函数与轴交点1抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根

15、.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.2平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.3抛物线与轴两交点之间的距离若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故：.二二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以为例）：判别式:二次函数的图象一元二次方程:的根有两相异实根有两相等实根没有实根三点剖析一考点：二次函数与轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题二重难点：1二次函

16、数与轴交点问题即当时，转化为一元二次方程；2在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析三易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况题模精讲题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且ab，则a、b、m、n的大小关系是（）A mabnB a

17、mnbC ambnD manb例6.1.2 求实数的取值范围，使关于的方程（1）有两个实根，且满足；（2）至少有一个正根题模二：二次函数与x轴交点例6.2.1 抛物线y=x2+2x+m1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A m2B m2C 0m2D m2例6.2.2 已知关于x的方程（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根（2）若关于x的二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式随堂练习随练6.1 已知关于x的方程（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值随练6.2 若二次函数与x

18、轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）A B C D 随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A 0或2B 0或1C 1或2D 0，1或2随练6.4 实数在什么范围内取值时，关于的方程的一个根大于而小于，另一个根大于而小于自我总结 课后作业作业1 下列函数是二次函数的是（ ）A B C D 作业2 二次函数的函数值是，那么对应的的值是（ ）A B C D 作业3 已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？作业4 已知二次函数经过点，点与点关于轴对称，则点（ ）A 在图像上B 不在图像上

19、C 不确定是否在图像上D 以上说法都不对作业5 已知点，都在函数的图像上，则（ ）A B C D 作业6 若二次函数有最大值，则有_值（填最大或最小），且为_作业7 在同一直角坐标系中画出二次函数，的图像，并简单说明图像之间的规律作业8 对于的图象下列叙述错误的是（ ）A 顶点坐标为B 对称轴为C 当时y随x增大而减小D 函数有最大值为2作业9 抛物线的顶点坐标是（ ）A B C D 作业10 若二次函数配方后为，则、的值分别为（ ）A 8、1B 8、1C 6、1D 6、1作业11 已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点作业12 将抛物线向_平移_个单位，再向_平移_个单位，就能得到抛物线作业13 已知抛物线（1）用配方法将化成的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式作业14 已知二次函数的图象过点若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）A B C D 作业15 二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为B，与轴交于点C（1）求的值及点B、点C的坐标；（2）直接写出当时，x的取值范围；