分式运算典型例题精解

1、分式性质及运算【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式1）； 2）； 3）； 4）；5）； 例如，当x为 时，分式有意义错解：时原分式有意义(2 不要随意用“或”与“且”。例如 当x_时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制当时，分式有意义当时，分式无意义当时，分式值为0二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以，不要只乘分子或分母）性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值注意：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或

2、除以同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去同一个整式RTCrpUDGiT【例3】下列变形正确的是 A.扩大3倍 B.扩大9倍 C. 扩大6倍 D.不变5PCzVD7HxA2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.jLBHrnAILg【例5】1）化简的结果为 ）A B C D2）化简的结果）ABCD3）化简的结果是）ABCD3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次

3、幂的积。三、分式的运算1、分式运算时注意：1）注意运算顺序例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行错解：原式2）通分时不能丢掉分母例如，计算，出现了这样的解题错误：原式=分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；xHAQX74J0X3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略 先把除法变为乘法；(2接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；LDAYtRyKfE(3再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式 3、加减的加减 1同分母分

4、式加减法则：分母不变，分子相加减。 2异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同； 按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简Zzz6ZB2Ltk4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. dvzfvkwMI1【例6】计算：1）； 2）；3） 4）已知，则代数式的值【分类解读】 一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例1 计算+分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：

5、原式=+=+=2、分离整数技巧例2 计算-分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解：原式=-=1+-1-=-=-3、裂项相消技巧例3 计算+分析：此类题可利用=-）裂项相消计算。解：原式=-）+-）+-）=-=4、分组计算技巧例4 计算+-分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。rqyn14ZNXI解：原式=-）+-）=+=5、变形技巧例5 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：将已知两边同除以xx0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0

6、，两边同除以xx0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=x+）2-2=32-2=7二、分式求值中的整体思想例1 若分式的值为，则的值为 ）A、1 B、-1 C、- D、解：由已知=得2y2+3y+7=82y2+3y=1，4y2+6y=2所以=1，故选A。例2 已知+=4，则=。分析：由已知可得到a+b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。EmxvxOtOco解：由已知得=4 a+b=4ab=-点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到=然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。例3 已知a2-3a+1=0，求

7、的值。解：由已知a2-3a+1=0知a0，将已知等式两边同除以a得a-3+=0，a+=3所以=a2+=a+）2-2=32-2=7=点评：所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。a2=a）22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。例4 已知+=，+=，+=，求的值。分析：将所求式分子、分母同除以abc可得到，只要将已知式变换出+即可。解：因为+=，+=，+=，将、左、右分别相加，得2+）=+=所以=例5 有一道题：“先化简再求值：，其中”，小明做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？SixE2yXPq5解读:首先对原分式进行化简,再根据

8、化简结果说理.因为当和时, 的值都是2009,所以小明把“”错抄成了“”,计算结果也是正确的.例6 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：将已知两边同除以xx0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0，两边同除以xx0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=x+）2-2=32-2=7三、分式运算新型题例2 请利用、 和这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式的商减去第三个分式的差,并化简.解读:本题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到10多个不同的算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确

9、率.6ewMyirQFL如, -=,等等.温馨提示:这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的.kavU42VRUs例3 先化简代数式,然后选取一个合适的值,代入求值.解读:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.y6v3ALoS89原式=.由题意知,的值不能取2和-2,所以当=0时,原式=4.温馨提示:本题既检测了同学们分析问题的能力,又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供

10、了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”.M2ub6vSTnP一、开放性问题例1在下列三个不为零的式子 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是.分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.1）；2）。3）； 4）。 .说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.0YujCfmUCw二、探索运算程序例2任意给定一个非零数，按下列程序计算

11、，最后输出的结果是 计算2）探究用含有的式子表示）3）若 的值为，求的值 解：1） 2）3）=+ +=由= 解得经检验是方程的根，【精练】计算：【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.7EqZcWLZNX【解】= = =1顺次相加法例1：计算：【分析】本题的解法与例1完全一样.【解】= =2整体通分法【例2】计算：【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是

12、1的分式.lzq7IGf02E【解】=.3化简后通分分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多zvpgeqJ1hk4巧用拆项法例4计算：.分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.NrpoJac3v1解：原式= = =5分组运算法例5：计算：分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.1nowfTG4KI解： = = = = =【错题警示】一、错用分

13、式的基本性质例1 化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.fjnFLDa5Zo正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2 计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？错解原式.由得.时，分式有意义.解读上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.正解由得且.当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？错解当，得.当，原分

14、式有意义.解读上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.正解 ，得，由，得.当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.错解原式=.解读上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.正解原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.错解由，得.当或时，原分式的值为零.解读当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.正解由由，得.由，得且.当时，原分式的值为零.二、经典例题透析类型一：分式及其基本性质1当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 ）A. B. C. D. tfnNhnE6

15、e52若分式的值等于零，则x_；3求分式的最简公分母。【变式1】1）已知分式的值是零，那么x的值是 ）A1B0C1D 2）当x_时，分式没有意义【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是 通分约分4化简分式:【变式1】顺次相加法 计算：【变式2】整体通分法 计算：二）裂项或拆项或分组运算5巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆项法计算：V7l4jRB8Hs类型三：条件分式求值的常用技巧6参数法 已知，求的值【变式1】整体代入法 已知，求的值.83lcPA59W9【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这

16、样的问题适合通常采用倒数法已知：，求的值【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值已知：，求的值类型四:解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧一）与异分母相关的分式方程7解方程=【变式1】换元法 解方程：mZkklkzaaP二）与同分母相关的分式方程8解方程【变式1】解方程 【变式2】解方程类型五：分式m= ambn , (amn= amn7.负指数幂: a-p=a0=18.乘法公式与

17、因式分解:平方差与完全平方式(a+b(a-b= a2- b2 。(ab2= a22ab+b2一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当有何值时，下列分式有意义1）2）3）4）5）题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当取何值时，下列分式的值为0. 1）2）3）题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】1）当为何值时，分式为正；2）当为何值时，分式为负；3）当为何值时，分式为非负数.练习：1当取何值时，下列分式有意义：1）2）3）2当为何值时，下列分式的值为零：1）2）3解下列不等式1）2）二）分式的基本性质及有关题

18、型1分式的基本性质：2分式的变号法则：题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.1）2）题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.1）2）3）题型三：化简求值题【例3】已知：，求的值.提示：整体代入，转化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.1）2）2已知：，求的值.3已知：，求的值.4若，求的值.5如果，试化简.三）分式的运算题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.1）；2）；3）；4）题型二：约分【例2】约分：1）；3）；3

19、）.题型三：分式的混合运算【例3】计算：1）；2）；3）；4）；5）；6）；7）题型四：化简求值题【例4】先化简后求值1）已知：，求分子的值；2）已知：，求的值；3）已知：，试求的值.题型五：求待定字母的值【例5】若，试求的值.练习：1计算1）；2）；3）；4）；5）；6）；7）.2先化简后求值1），其中满足.2）已知，求的值.3已知：，试求、的值.4当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值.四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：1）2）3）4）题型二：化简求值题【例2】已知，求1）的值；2）求的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：1）；2）.练习：

20、1计算：1）2）3）4）2已知，求1），2）的值.一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程1）；2）；3）；4）提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程1）； 2）提示：1）换元法，设；2）裂项法，.【例3】解下列方程组题型三：求待定字母的值【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.提示：且，且.题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于的方程提示：1）是已知数；2）.题型五：列分式方程解应用题练习：1解下列方程：1）；2）；3）；4）5）

21、6）7）2解关于的方程：1）；2）.3如果解关于的方程会产生增根，求的值.4当为何值时，关于的方程的解为非负数.5已知关于的分式方程无解，试求的值.二）分式方程的特殊解法一、交叉相乘法例1解方程：二、化归法例2解方程：三、左边通分法例3：解方程：四、分子对等法例4解方程：五、观察比较法例5解方程：六、分离常数法例6解方程：七、分组通分法例7解方程：例1若分式方程无解，求的值。例2若关于的方程不会产生增根，求的值。例3若关于分式方程有增根，求的值。例4若关于的方程有增根，求的值。分式求值问题全解1. 字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求的值.【解读】 仔细观察已知条件，虽然出

22、现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简= = = = =【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。2MiJTy0dTT2. 设值代入法例2. 已知，求证：【解读】这道题也可以用字母代入法，可以得到，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到、连等，让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ckgIiSpiue7A 代入得

23、= = =【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件 设 则1）， 2）设 则x=ak y=bk z=ck 和ab这两项，所以可以用ab代替b-auEh0U1Yfmh【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。IAg9qLsgBX4. 变形代入法 这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。例4a+2b+3c=0 a=c用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出来=例5非负变形）. 已知：，求的值

24、.【解读】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式其中 所以=0 =0得再带入原式很容易求出解。 例6对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则【解读】这题可以用整式代入法，比如用-b-c代替a，但是代数式a的符号和位置在三个分式中不同，如果用代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。asfpsfpi4k如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：用a=-b-c代入中的a，得到-2bc用b=-a-c代入中的b，得到-2ac用c=-a-b代入中的c，得到-2ab原式=例7倒数变形）.已知求证【解读】已知条件是的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将改写成的形式，使得x、y相互独

25、立，简化已知条件。写出变化后的形式， = 所以 = 则，得证。例8、(b-c和乘积形式bc将能从已知条件得到的关系列出来,左边和左边相乘，右边和右边相乘得，所以【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简： 消元的角度：方程变形、非负变形-减少字母数量，方便化简化简 结构的角度：对应、倒数、归类变形-调整关系式结构，方便化简代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。BkeGuInkxI【练习】1、已

26、知 的值等于 ） 设值代入）A B. C. D. 2、若a2+b2=3ab,则(1+的值等于 ） 整式代入）A B. 0 C. 1 D.3、已知：a+b+c=0,abc=8.求证：0. 非负变形）4、已知：a+b+c=0. 求证： 代数式归类变形）5、已知abc=1，求证：对应变形）复习引入：1.计算：2723=_，a9a4=_；由学生用数学式子表示上述同底数幂的除法法则，并指出其中字母的规定，强调指数是正整数，底数不等于零）2.思考：2225=_；a2a4=_；在学生独立思考的基础上，让学生猜测计算的结果，并请学生讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用幂的形式表示

27、计算结果”的问题PgdO0sRlMo、二学习新课：整数指数幂及其运算1负整数指数幂的概念：a0，p是自然数）2整数指数幂：当a0时，就是整数指数幂，n可以是正整数、负整数和零将下列各式写成只含正整数指数幂的形式：、变式训练1：、变式训练2：、通过变式训练2，学生同桌讨论当指数为负数，底数为分数时的情形，并总结出判断正误：例题讲解：例题1 计算：1）2628；2）1010110104； x-3；(2 a-3b4；(3 2(x+2y-2；例题3计算：1）a2aa3；3a5；3整数指数幂的运算性质：举例复习正整数指数幂的其它性质，同时思考、验证整数指数幂的相关运算法则：归纳整数指数幂的运算性质：1）

28、同底数幂的乘法性质：aman=am+n。m=ambm。n=amn。上述性质中a、b都不为0，m、n都为整数）例题4计算：1）x-5x2；3；1.下列计算正确的是( A.(20=1 B.23=8 C.2(3=5 D.32=93cdXwckm152.填空:(1aa5=_。(2a0a3=_。(3a1a2=_。(4aman=_.h8c52WOngM3.填空:(1aa4=_。(2a0a2=_。(3a1a3=。(4aman=_.v4bdyGious4.某种细菌的长约为0.000 001 8M，用科学记数法表示为_.二、课中强化(10分钟训练1.下列计算正确的是( A.(a23=a5 B.(a23=a5C.

29、(1+(+3.140=2 D.a+a2=a1J0bm4qMpJ92.(1(a12=_(a0；(2(a2b2=_(ab0；(3(1=_(ab0.XVauA9grYP3.填空:(152=_；(2(3a1b1=_(ab0.bR9C6TJscw4.计算:(1(2(2。(2(3533. (3a2b2(ab1。(4(2(xy2(x1y.pN9LBDdtrd6.我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功.经测算当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘M的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少M?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示DJ8T7nHuGT

30、三、课后巩固(30分钟训练1.据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个数用科学记数法表示为( A.2.5103 B.2.5104 C.2.5105 D.2.5104QF81D7bvUA2.下面的计算不正确的是( A.a10a9=a B.b6b4=C.(bc4(bc2=b2c2 D.b5+b5=2b54B7a9QFw9h3.要使(0有意义,则x满足条件_.4.(1(p=_。(2x2x3x3=_。(3(a3b23=。_(4(a2b32=_.ix6iFA8xoX5若x、y互为相反数，则(5x2(52y=_.6.计算:(2(0+(2(2.7.计算:(9103(5102.8.计算:(15x2

31、y23x3y2。(26xy2z(3x3y3z1.9.已知mm1=3,求m2+m2的值.参考答案一、课前预习 (5分钟训练1.下列计算正确的是( A.(20=1 B.23=8 C.2(3=5 D.32=9wt6qbkCyDE解读：A:任何一个非零数的零次幂都等于1，故A错；C:2(3=2+3=1，故C错；D:32=，故D错.答案:B2.答案:(1a6 (2a3 (3a3 (4am+n3.填空:(1aa4=_。(2a0a2=_。(3a1a3=。(4aman=_.Kp5zH46zRk答案:(1 (2a2 (3a2 (4amn4.某种细菌的长约为0.000 001 8M，用科学记数法表示为_.解读：科

32、学记数法就是将一个数写成a10n(1a10的形式.用科学记数法可以表示比1大的数，引入负整数指数幂后，也可表示比1小的数.Yl4HdOAA610.000 001 8=1.80.000 001=1.8=1.8106.答案:1.8106二、课中强化(10分钟训练1.下列计算正确的是( A.(a23=a5 B.(a23=a5ch4PJx4BlIC.(1+(+3.140=2 D.a+a2=a1解读：A.应为a6,B.应为a6,D.不能加减,C.原式=(311+1=(31+1=2.qd3YfhxCzo答案：C2.(1(a12=_(a0；(2(a2b2=_(ab0；(3(1=_(ab0.E836L11DO

33、5解读：幂的乘方、积的乘方以及商的乘方，当指数扩大到全体整数范围时，在正整数范围内成立的一切性质在保证分母不为零的前提下都成立.S42ehLvE3M答案:(1 (2 (33.填空:(152=_；(2(3a1b1=_(ab0.501nNvZFis解读：(1根据an=，得52=.(2根据积的乘方，等于积中每个因式乘方的积可得(3a1b1=31(a11b1=.答案:(1 (24.计算:(1(2(2。(2(3533.解读：(1根据an=.原式=.(2(3533=3533=353=38.5.计算:(1a2b2(ab1。(2(2(xy2(x1y.解：(1a2b2(ab1=(a2a(b2b1=a1b=。(2(2(xy2(x1y=x2y2xy1=.6.我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功.经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经