初中数学代数部分知识点总结

1、1.实数1.1有理数1.1.1认识有理数1.正数和负数:(1)像7,1,6,822等这样大于0的数叫做正数，像-3，-14，-155等正数的前面加上“-”（读作负）号的数，叫做负数.(2)0既不是负数，也不是正数.2.有理数：整数和分数统称为有理数.3.数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫数轴.4.相反数：（1）如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0.（2）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.5.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。例如，2的绝对值等于2

2、，记作2=2；3的绝对值等于3，记作33.1.1.2有理数的大小1在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大2.正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数； 3.两个负数比较，绝对值大的其值反而小 1.1.3有理数的运算1.有理数的加减法（1）有理数加法运算法则：a. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；c. 互为相反数的两个数相加得0；d. 一个数同0相加，仍得这个数.注：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。

3、(2) 有理数加法运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a + b = b + a加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 ( a + b )+ c = a + ( b + c ).（3）有理数减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a b = a +（b）。注：有理数的加减法可统一成加法，从而有理数加、减混合算式都看成和式，就可灵活运用加法运算律，简化计算。2.有理数的乘法（1）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。（2

4、）有理数乘法的运算律:乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a b = b a乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(ab)c=a(bc)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(bc)abac.注：a.三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.b.不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.c.几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.3. 有理数的除法（1）倒数：乘积是1的两个数互为倒数.(2)有理数除法则：a.除

5、以一个数等于乘上这个数的倒数,除法运算可以转化为乘法运算.b.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.c.0除以任何一个不等于0的数，都得0.注：0不能作除数.4. 有理数的乘方（1）概念：这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫作底数，n叫做指数，an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。（2）运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。5.有理数的混合计

6、算（1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 注：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便。1.1.4科学计数法与近似数1.科学计数法：一般地，把一个大于10的数记成a的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（即1a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算2.4.3二次根式的大小1.根式变形法当时，如果，则；如果，则。

7、2.平方法当时，如果，则；如果，则。3.分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4.分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5.倒数法6.媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7.作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8.求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 3.方程与方程组3.1方程及方程的解3.1.1一元一次方程1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是：axb=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a0）一元一次方程的最简形式是：ax=b(

8、a0)2.不定方程: 一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。3.代数方程: 代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。4.等式: 用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式; 两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。5.方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。6.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括

9、号；（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；（4）合并同类项：把方程化成ax=b(a0）的形式；（5）系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。7.矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程3.1.2一元二次方程1.基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（任意）.一次项系数为5（任意），二次项是3（任意不为0）.2.一元二次方程的求根公式：3.一元二次方程的解法：（1）解一元二次方程的直接开平方法如果一元二次方程的一边

10、是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解（2）解一元二次方程的配方法先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解（3）解一元二次方程的公式法利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）解一元二次方程的因式分解法在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解3.1.3二元一次方程及其解:1. 定义：每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像

11、这样的方程叫做二元一次方程.2. 二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3.1.4分式方程1.分式方程的概念分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程.注：分式方程与整式方程都是含有未知数的等式，它们的根本区别就在于分母中是否含有未知数.2.分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代

12、入最简公分母后值为0。3.列分式方程的基本步骤： 审仔细审题，找出等量关系。 设合理设未知数。 列根据等量关系列出方程（组）。 解解出方程（组）。注意检验 答答题。3.2方程组3.2.1二元一次方程组1.二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组2二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解3.二元一次方程组的两种解法：（1）代入消元法，简称代入法把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得

13、一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解（2）加减消元法，简称加减法把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解3.二元一次方程组解的情况：3.2.2二元二次方程组1二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二一”型和“二二”型，又分别成为型和型。“二一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二二”型是由两个二元二次方

14、程组成的方程组。（1）“二一”型方程组的解法a.代入消元法（即代入法）代入法是解“二一”型方程组的一般方法，具体步骤是：把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。b.逆用根与系数的关系对“二一”型二元二次方程组中形如 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-

15、az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意：不要丢掉一个解。此方法是解“二一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。以上两种是比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。注意：解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二一”型方程组。也要要防止漏解和增解的错误。（2）“二二”型方程组的解法a.当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次

16、方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二一”型方程组，解得这两个“二一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。b.当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。注意：“二一”型方程组最多有两个解，“二二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。3.2.3列方程解应用题1.列方程解应用题的一般步骤:（1）审:分析题意,找出数量关系和相等关系.（2）设:选择恰当的未知数,注

17、意单位和语言完整.（3）列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.（4）解:认真仔细.（5）检:有两次检验.(6)答:注意单位和语言完整.2列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题： 距离=速度时间 ；（2）工程问题： 工作量=工效工时 ；（3）比率问题： 部分=全体比率 ；（4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题： 售价=定价折 ，利润=售价-成本， ；（6）周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=

18、a3，V圆柱=R2h ，V圆锥=R2h.4.不等式与不等式组1.知识概念：用符号“”“”“ ”“”表示大小关系的式子叫做不等式。2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。6.性质不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。不等

19、式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。7.一元一次不等式的解法步骤：(1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并同类项 (5)系数化成1 (如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向)8.一元一次不等式组的解法步骤： (1)分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集（2)在数轴上表示各个不等式的解集(3)写出不等式组的解集9.一元一次不等式组的四种情况：5.函数5.1函数的基本知识5.1.1平面直角坐标系1.定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直

20、角坐标系2各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P（x,y），则x0,y0；第二象限：（-，+） 点P（x,y），则x0,y0；第三象限：（-，-） 点P（x,y），则x0,y0；第四象限：（+，-） 点P（x,y），则x0,y0；3.坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。4点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5平行于坐标轴的直线上

21、的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为8两点之间的距离：X轴上两点为A、B |AB|Y轴上两点为C、D |CD|已知A、B |AB|=9中点坐标公式：已知A、B M为AB的中点 则：M=( , )10点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以

22、得到对应点（ x-a，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。5.1.2函数的基础知识1变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。2. 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。3.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，

23、那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应3定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些

24、点组成的图形，就是这个函数的图象6函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法

25、：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。5.2正比例函数和一次函数5.2.1 正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0 直线从左向右是向上的 k0 直线与y轴的正半轴相交 b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当

26、b0，b0 k0，b0 k0，b0 k04.直线y=kxb(k0)与坐标轴的交点(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kxb与x轴交点坐标为与 y轴交点坐标为(0，b)5.用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6.两条直线交点坐标的求法： 方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线yx+6 与y2x-4交于点P，求P点的坐标？7.直

27、线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线8.正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kxb的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b0时，向上平移；当b0或ax+b0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。 定义域为x0；值域为y0。 3.因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的

28、图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2 +4km（不小于）0。 （k/x=mx+n，即mx2+nx-k=0） 8.反比例函

29、数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称. (第5点的同义不同表述) 10.反比例上一点m向x、y轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。5.4二次函数5.4.1二次函数及其性质1.概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的性质（1） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标

30、为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值。3二次函数解析式的表示方法（1） 一般式：（，为常数，）；（2） 顶点式：（，为常数，）；（3） 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.4. 平移步骤方法一：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处

31、，具体平移方法如下： 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）：沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”5二次函数的图象与各项系数之间的关系（1） 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小（2） 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴a.在的前提下，当

32、时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧b. 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” (3) 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：(1) 已知