【名师一号】高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

1、1,4.2.2 圆与圆的位置关系,2,自 学 导 引(学生用书P90),3,1.知道两圆间的位置关系有:外离外切相交内切内含5种. 2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆的位置关系. 3.初步体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.,4,课 前 热 身(学生用书P90),5,一般地,设圆C1和C2的方程分别为 (x-x1)2+(y-y1)2=r21, (x-x2)2+(y-y2)2=r22. 圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距d=|C1C2|= 那么,当dr1+r2时,两圆_. 当d=r1+r2时,两圆_. 当|r1-r2

2、|dr1+r2时,两圆_. 当d=|r1-r2|时,两圆_. 当0d|r1-r2|时,两圆_.,外离,外切,相交,内切,内含,6,名 师 讲 解 (学生用书P91),7,1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤 (1)判断两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r ,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r 位置关系的常用方法: 两圆C1C2外离|C1C2|r1+r2; 两圆C1、C2外切|C1C2|=r1+r2; 两圆C1C2相交|r1-r2|C1C2|r1+r2; 两圆C1、C2内切|C1C2|=|r1-r2|; 圆C1内含于圆C20|C1C2|r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆同心

3、.,8,(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤: 第一步:将两圆的方程化为标准方程; 第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距d(即|C1C2|); 第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系.,9,2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法 跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便.,10,典 例 剖 析 (学生用书P91),11,题型一 圆与圆的位置关系 例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a

4、2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)内切. 分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作比较.,12,解:将两圆方程写成标准方程 (x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4. 设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或2. (2)当d=1即2a2+6a+5=1时,两圆内切,解得a=-1或a=-2. 规律技巧:解决两圆的位置关系,运用几何方法(圆心距与半径的关系)比代数方法(方程组解的情况)简单.,13,变式训练1:A的方程为

5、x2+y2-2x-2y-7=0,B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0,判断A和B是否相交,若相交,求过两交点的直线的方程;若不相交,说明理由. 分析:判定两圆是否相交,只需判定两圆的半径和差与圆心距间关系即可.,14,解:A的方程可写为(x-1)2+(y-1)2=9, B的方程可写为(x+1)2+(y+1)2=4, 两圆心之间的距离满足3-2|AB|= 即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差. 两圆相交. A的方程与B的方程左右两边分别相减得-4x-4y-5=0.即4x+4y+5=0为过两圆交点的直线的方程.,15,题型二 与两圆相切有关的问题 例2:求与圆x2+y2-2x=0

6、外切且与直线 相切于点 的圆的方程. 分析:先设出圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),利用题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组求得a,b,r即可.,16,解:设所求圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1)2+y2=1,由题意可得,17,18,规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根据圆 与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的方程组求解.,19,变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程. 解:设所求圆的半径为r, 则 r=3或r=13, 故所求圆的方程为 (x

7、-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169.,20,题型三 与两圆公共弦有关的问题 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.,21,解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则AB两点坐标是方程组 -得3x-4y+6=0. AB两点坐标都满足此方程, 3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r

8、=3.,22,23,规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两 个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.,24,变式训练3:判断圆C1:x2+y2-2x-6y-6=0,与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的公切线的条数. 分析:先判断两圆位置关系. 解:由题意得:将圆C1化为标准方程: (x-1)2+(y-3)2=16. 将圆C2化为标准方程:(x-2)2+(y+1)2=1. 得圆C1的圆心坐标C1(1,3),半径r1=4. 圆C2的圆心坐标C2(2,-1),半径r2=1,25,又r1+r2|C1C2|r1-r2, 即两圆相交. 圆C1与圆C2有两条公切线.,26,易错探究

9、 例4:求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程. 错解:设所求圆的圆心C(a,b),则 由解得a=5,b=-1. 所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.,27,错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解. 正解:设所求圆的圆心C(a,b),则 (1)当两圆外切时,有 由解得a=5,b=-1. 所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.,28,(2)若两圆内切,则有 由解得a=3,b=-1. 所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 综上所述,所求圆的方程为 (x-5)2+(

10、y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.,29,技 能 演 练(学生用书P92),30,基础强化 1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.相交D.内切 解析:圆:x2+y2-2x=0,配方(x-1)2+y2=1,圆心C1(1,0),半径r1=1. 圆:x2+y2+4y=0,配方x2+(y+2)2=4,圆心C2(0,-2),半径r2=2. 圆心距|C1C2|= r1+r2=3,两圆相交. 答案:C,31,2.两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2(r0)外切,则r的值是( ) 答案:D,32,3.两圆x2+y2-4x+2

11、y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有( ) A.1条B.2条 C.3条D.4条 解析:圆x2+y2-4x+2y+1=0(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C1(2,-1),半径r1=2.圆x2+y2+4x-4y-1=0(x+2)2+(y-2)2=9,圆心C2(-2,2),半径r2=3. |C1C2|= =5=r1+r2. 两圆相外切,公切线有3条. 答案:C,33,4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有( ) A.4个B.3个 C.2个D.1个 解析:圆x2+2x+y2+4y-3=0(x+1)2+(y+2)2=8. 圆心(-1,-2),半径

12、为 而圆心(-1,-2)到直线x+y+1=0的距离 圆上点到直线的距离为 的点有3个. 答案:B,34,5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9 解析:设动圆圆心G(x,y).当两圆内切时,有(x-5)2+(y+7)2=9. 当两圆外切时,有(x-5)2+(y+7)2=25.应选D. 答案:D,35,6.(2007天津高考)已知两

13、圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于AB两点,则直线AB的方程是_. 解析:二圆相减可得x+3y=0.,x+3y=0,36,7.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_. 解析:半径 又圆心(1,2). 圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.,(x-1)2+(y-2)2=25,37,8.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为_. 解析:当两圆内切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5-1)2.a=0;当两圆外切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5+1)2,a= a=0或a=,38,能力提升 9.已知点P是

14、圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0)是x轴上的一定点,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?并分析此轨迹与圆x2+y2=16的位置关系. 解:设线段PA的中点M(x,y),P(x0,y0),则由中点坐标公式得:,39,P(x0,y0)在圆x2+y2=16上, (2x-12)2+(2y)2=16, 即(x-6)2+y2=4. 这就是点M的轨迹方程. 点M的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆. 两圆的圆心距 而两半径之和为6. 两圆相外切.,40,10.求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0也相切的圆的方程. 解:由题意,设所求圆的方程为圆C

15、:(x-a)2+(y-b)2=r2.圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4). 又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.,41,(1)当C1(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),故可得a=2 所求圆的方程为 +(y-4)2=42,或 +(y-4)2=42. (2)当C2(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72,或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),故a=2 所求圆的方程为 +(y+4)2=42,或+(y+4)2=42.,42,11.(2008重庆)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( ) A.相离B.相交 C.外