数值分析习题与答案

1、第一章绪论习题一1. 设 x0,x* 的相对误差为，求 f(x)=ln x的误差限。解：求 lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已 知x* 的 相 对 误 差满 足1 / 179，而，故2 / 179即2. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得3 / 179有 5 位有效数字，其误差限，相对误差限4 / 179有 2 位 有 效 数 字 ，有5位 有 效 数 字 ，5 / 1793. 下列公式如何才比较准确？（ 1）6 / 179（ 2）解：要使计算较准

2、确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（ 1）7 / 179（ 2）4. 近似数 x*=0.0310,是 3位有数数字。5.计算取8 / 179，利用：式计算误差最小。四个选项：9 / 179第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解： 仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton 插值 , 并应用误差估计（ 5.8 ）。线性插值时，用 0.5 及 0.6 两点，用 Newton 插值10 / 179误差限，因，故11 / 179二次插值时，用0.5 ， 0.6 ， 0.7 三点，作二次Ne

3、wton 插值12 / 179误差限，故13 / 1792.在 - 4x4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求14 / 179的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少 ?15 / 179解：用误差估计式（5.8 ），令16 / 179因得17 / 1793.若，求和.18 / 179解：由均差与导数关系于是19 / 1794.若互异，求的值，这里pn+1.20 / 179解 ：， 由 均 差 对 称 性可知当有21 / 179而当 P n 1 时于是得22 / 1795.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得23 / 1796.已知的函数表求出三次Newton 均差插值多项式，

4、计算 f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表24 / 179由式 (5.14) 当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式 (5.15)可得25 / 179由于7.给定 f(x)=cosx的函数表26 / 179用 Newton 等距插值公式计算cos 0.048及 cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表27 / 179计算，用 n=4 得 Newton 前插公式误

5、差估计由公式（5.17 ）得28 / 179其中计算时用Newton 后插公式29 / 179（ 5.18)误差估计由公式（5.19 ）得30 / 179这里仍为 0.5658求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项式p(x),使 它 满 足31 / 179解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足32 / 179，显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由 p(2)=1 求出 A ，于是33 / 1799.令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并34 / 179证 明是 -1,1 上 带 权的正交多项式序列。解：因35 / 179

6、10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.36 / 179解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数37 / 179法方程为解得38 / 179最小二乘拟合曲线为均方程为11. 填空题39 / 179(1)满足条件的插值多项式 p(x)=().(2), 则 f 1,2,3,4=() ， f 1,2,3,4,5=().40 / 179(3)设为 互 异 节 点 ，为对应的四次插值基函数，则()，41 / 179 ().(4)设是区间 0,1 上权函数为(x)=x的最高项系数为1 的正交多项式序列，其42 / 179中，则()， ()43 / 179答：（ 1）（ 2

7、）44 / 179（ 3）（ 4）第 4 章数 值 积 分与数值微分习题 41.分别用复合梯形公式及复合Simpson 公式计算下列积分.45 / 179解本题只要根据复合梯形公式（6.11 ）及复合Simpson公式（ 6.13 ）直接计算即可。对，取 n=8, 在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出46 / 179， 按 式 （ 6.13） 求 得，积分47 / 1792.用 Simpson 公式求积分，并估计误差解：直接用Simpson 公式（ 6.7 ）得48 / 179由（ 6.8 ）式估计误差，因，故3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明

8、求积公式所具有的代数精确度.49 / 179(1)(2)(3)50 / 179解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（ 1）令代入公式两端并使其相等，得51 / 179解此方程组得，于是有再令，得52 / 179故求积公式具有3 次代数精确度。（ 2）令代入公式两端使其相等，得53 / 179解出得54 / 179而对不准确成立，故求积公式具有 3 次代数精确度。（ 3）令代入公式精确成立，得55 / 179解得，得求积公式56 / 179对故求积公式具有2 次代数精确度。57 / 1794.计 算 积 分， 若 用 复 合Simpson公式要使误差不超过，问区间58 /

9、 179要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?59 / 179解：由 Simpson 公式余项及得即， 取n=6 ， 即 区 间60 / 179分为 12 等分可使误差不超过对梯形公式同样，由余项公61 / 179式得即62 / 179取 n=255 才更使复合梯形公式误差不超过5.用Romberg求积算法求积分63 / 179，取解 ： 本 题 只 要 对 积 分使 用64 / 179Romberg 算法（ 6.20 ），计算到K 3，结果如下表所示。于 是 积 分， 积 分 准 确 值 为0.7132726用三点 Gauss-Legendre 求积公式计算积分.65 / 179解：本题直接应用三点Gauss 公式计算即可。由于区间为，所以先做变换66 / 179于是67 / 179本题精确值7用 三 点Gauss-Chebyshev求 积 公 式 计 算 积 分解：本题直接用Gauss-Chebyshev 求积公式计算68 / 179即于是，因 n=2, 即为三点公式，69 / 179于是，即70 / 179故8. 试确定常数 A， B，C，及