高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质课件1新人教A版选修.ppt

1、1.3.2“杨辉三角”与二项式 系数的性质,第一章1.3二项式定理,1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,答案,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一“杨辉三角”与二项式系数的性质 (ab)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：,思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 答案在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； 在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.,答案,思考2计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案

2、2,4,8,16,32,64，其系数和为2n. 思考3二项式系数的最大值有何规律？ 答案n2,4,6时，中间一项最大，n3,5时中间两项最大. 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 . (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，即 .,1,相等,和,答案,2.二项式系数的性质,等距离,二项式系数,2n,2n,偶数,2n1,答案,返回,类型一与杨辉三角有关的问题 例1如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值. 解由题意及杨辉三角的特点

3、可得 S16(12)(33)(64)(105)(369),解析答案,反思与感悟,题型探究 重点难点 个个击破,反思与感悟,解决与杨辉三角有关的问题的一般思路,解析答案,跟踪训练1(1)如图数表满足：第n行首尾两数 均为n；图中的递推关系类似杨辉三角，则 第n(n2)行的第2个数是_. 解析由图中数字规律可知，第n行的第2个数是,1 22 343 4774 51114115 ,(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成 0，得到如图所示的三角数表.从上往下数， 第1次全行的数都为1的是第1行，第2次 全行的数都为1的是第3行，第n次全 行的数都为1的是第_行；第61行中1的个数是_. 解析观察可得

4、第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1， 故第n次全行的数都为1的是第2n1行； n626163， 故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1， 第61行共有32个1.,2n1,32,解析答案,解析答案,类型二求展开式的系数和 例2已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求： (1)a1a2a7； 解当x1时，(12x)7(12)71， 题中等式等号右边为a0a1a2a7， a0a1a2a71. 当x0时，a01. a1a2a7112.,解析答案,(2)a1a3a5a7； 解令x1，则a0a1a2a71， 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737， 由得2(a1a3a5

5、a7)137，,解析答案,(3)|a0|a1|a7|. 解由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正， 由(2)中，得2(a0a2a4a6)137，,|a0|a1|a7|a0a1a2a3a4a5a6a7 (a0a2a4a6)(a1a3a5a7)372 187.,反思与感悟,二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可. (2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则

6、f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和.,解设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.,(2)各项系数之和为a0a1a2a9， 令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91. (3)令x1，y1，可得a0a1a2a959， 又a0a1a2a91，,解析答案,类型三二项式系数性质的应用 例3已知f(x)( 3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.

7、,反思与感悟,解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n， 又展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知，4n2n992. (2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍去)，或2n32，n5. (1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，,解析答案,反思与感悟,展开式的通项公式为,展开式中系数最大的项为,反思与感悟,1.二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数的最大项

8、的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2， An，且第r1项最大，应用 解出r，即得出系数的最大项.,反思与感悟,跟踪训练3已知 展开式中的二项式系数的和比(3a2b)7展开式的二项式系数的和大128，求 展开式中的系数最大的项和系数最小的项.,当r4时，展开式中的系数最大， 即T570 x4为展开式中的系数最大的项； 当r3或5时，展开式中的系数最小， 即T456x7，T656x为展开式中的系数最小的项.,解析答案,返回

9、,解析答案,达标检测,1.已知(2x)10a0a1xa2x2a10 x10，则a8等于() A.180 B.180 C.45 D.45,1,2,3,4,A,解析答案,B,1,2,3,4,解析答案,3.若 的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为() A.10 B.20 C.30 D.120 解析由2n64，得n6.,B,1,2,3,4,解析答案,4.已知(1x)8的展开式，求： (1)二项式系数最大的项； 解因为(1x)8的幂指数8是偶数， 所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，,(2)系数最小的项. 解二项展开式系数的最小值应在各负项中确定. 由题意知第4项和第6项系数相等且最小，,1,2,3,4,返回,规律与方法,1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出. 2.求展开式