有理数专题讲座

1、有理数专题讲座第一部分有理数的意义一、知识梳理1有理数的分类：2数轴： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），在画数轴时三者缺一不可任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示3相反数的意义及其与倒数的区别：相反数的代数意义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别地， 0 的相反数是 0。相反数的几何意义： 在数轴上， 表示互为相反数的两个点， 位于原点的两侧， 并且与原点的距离相等。 （ 0 是惟一的相反数等于自身的数）在一个有理数 a 的前面加上“”号，就

2、表示这个数的相反数，即“ a ”与“ a ”互为相反数。相反数与倒数的区别：（ 1）两个互为相反数的数，它们符号相反；两个互为倒数的数，它们符号相同（ 2）两个互为相反数的数，其绝对值相等；两个互为倒数的数，除 1 外，其绝对值不等（ 3）零的相反数是零，而零没有倒数（ 4）两个互为相反数的数和为零；两个互为倒数的数积为14绝对值的概念：a ,在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。对于任意一个数a 的绝对值用 | a |表示。 | a | 是数轴上表示 a 的点到原点的距离，即| a | 代表的是一个长度，所以 | a | 表示的一定是一个非负数。a(a0)| a |和 a

3、的关系如下： | a | 0(a0)a(a0)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0 。5比较两个有理数的大小：（ 1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，负数小于0，正数大于 0，正数大于一切负数二、典例剖析1、最小的正整数是 _；最大的负整数是_；最小的非负整数是 _；最大的非正整数是 _。2：填空：1、 比 4 大的负整数有 _ ；2、 大于 3.5 而不大于 3 的整数有 _ 个；3、简化（ 1） +（ 5.2 ） =_；(2) (+5) =_；1(3) (+2.7)=_ ；(4)| ( 2.3)|=_。4、 _的相反数是它本身。 _的倒数等于它本身。

4、5、如果x =7, 那么 x =_。6、如果 a 是 数，那么a _0；如果 a 是 数，那么 a _0。7、 ab的相反数是， a b 的相反数是， a bc 的相反数是；8 填空：已知 | a |=2,则 a =_ ；如果 | x |=5， x =_ 。如果 a 0， |2 a |=_；如果 a 0,则 |2 a |=_ ；|x |= x ， x 是数。 不大于 3 的整数有 _ 。9：有理数 a, b, c 在数 上的位置如 所示，化 ：| c b | | a c | | bc |c0ba10、 不大于 11.1 的整数有（）A、 11 个B、 12 个C、 22 个D 、 23 个11

5、 、已知： a 与 b 互 相反数，c 与 d 互 倒数， m 的 2，求代数式| a b | cd +| m | 的 。m 212、用表示 心 ，用表示空心 ， 有若干 心 与空心 按一定 律排列如下， 前2005 个 中有 _个空心 。13、 算：12201311 L1 =_ 。|a | a0， a 是_| ab |1 b 0，那么、已知数；已知14ab11-11-211-33-1a 是 _数。11-46-4115、（ 2013培 ） 察数表根据表中数的排列 律， 字母A所表示的数-510A5-1115是-615 -20-6116、（ 2013 咸宁） 在数 上，点A （表示整数 a ）在

6、原点的左 ，点B（表示整数 b ）在原点的右 若| a b |=2013 ，且 AO=2BO ， ab 的 17、（ 2013 菏 ） 如 ，数 上的A 、B 、 C 三点所表示的数分 是a, b,c ，其中 AB=BC ，如果 | a | | b | | c |，那么 数 的原点O 的位置 在（）A 、点 A 的左 B 、点 A 与点 B 之 C、点 B 与点 C 之 D 、点 B 与点 C 之 或点 C 的右 18、（ 2013 包 ） 若 | a |= a ， 数 a 在数 上的 点一定在（）2A 、原点左 B 、原点或原点左 C、原点右 D、原点或原点右 19、若 a 4, 化 - （

7、 a -4 ） -(- a )+| a -3|- a20、小明、小 、小 的家都与超市在同一条 西向的公路 , 一 从超市出 ,向 走了 3 km 到达小 家 , 走了 1.5 km 到达小明家 , 然后向西走 9.5 km , 到达小 家 , 最后回到超市 .(1) 以超市 原点 , 以向 的方向 正方向 , 用 1个 位 度表示 1km , 你能在数 上表示出小 家、小明家、小 家的位置 ?(2) 从小 家到小 家 公路走有多 ?(3) 一共行 了多少 km ?(4) 若 行 每千米耗油 0.3 升， 从出 到 束共耗油多少升？21、（ ） 已知 m, n, p 足 2m| m |0,|

8、n |n, p | p | 1 ，化 | n | mpn |pn | 2n1|22 、使等式 -5 + m = -5 + m 成立的 m 的取 _.23 、已知数 上有、两点，、之 的距离 ，点与原点的距离 ，那么所有 足条件的点与原点的距离之和等于_ 。24、有一串数， -2003 ，-1999 ，-1995 ，-1991 ，按照一定的 律排列，那么 串数中前_个数的和最小.25、有依次排列的3 个数： 3， 9， 8. 任意相 的两个数，都用右 的数减去左 的数, 所得之差写在两个数之 ，可 生一个新数串：3， 6，9， -1 ， 8. 称 第一次操做；做同 的操做可 生一个新数串：3，

9、3， 6， 3， 9，-10 ， -1 ， 9， 8. 依次操做下去，从数串 3， 9， 8 开始操做一百次后所 生的那个新数串的所有数之和 _.3第二部分有理数的运算一、知识梳理 .有理数加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。(3)一个数同0 相加，仍得这个数。2.有理数的加法步骤:(1).确定和的符号；(2).求加数的绝对值；(3).确定两个数的绝对值的和或差。3加法交换律、结合律在有理数的加法中仍然适用加法交换律：a + b = b + a结合律： (a

10、+ b) +c = a +(b + c) =( a + c) + b灵活运用加法运算律,可以使运算简便,通常有下列情形：把互为相反数的数结合在一起，称“相反数结合法”；把同分母的分数结合在一起，称“同分母结合法”；把能凑整的数结合在一起，称“凑整结合法”；把同号的数结合在一起，称“同号结合法”。1 有理数减法的意义：已知两个数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法运算。减法是加法的逆运算，即减法运算可以转化为加法运算2 有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。3 减法运算的步骤是： (1)将减法转化为加法：a b a +( b ) ；(2) 按有理数的加法法则运算注意：（

11、1） 在运用减法法则时， 注意两个符号的变化，一是运算符号减号变为加号，二是性质符号减数变成它的相反数；（ 2）减法法则不能与加法法则中的两个异号的数相加混淆；（ 3）有理数的减法法则中，被减数与减数不能互换，减法没有交换律。1乘法的符号法则：两数相乘， “同号得正， 异号得负” ，并把绝对值相乘。任何数与0 相乘，积仍为 0。2有理数的乘法运算的步骤：（ 1）先确定积的符号；（2）求出积的绝对值相。3几个有理数相乘的积的符号确定：（ 1）几个有理数相乘，只要有一个数为0，则积为0；（ 2）几个不为0 的有理数相乘， 积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数

12、为偶数个时，积为正。4乘法的运算律：（ 1）乘法交换律：ab=ba（ 2）乘法结合律：(ab)c=a(bc)（ 3）乘法分配律：a(b+c)=ab+ac5值得注意的问题：（ 1）合理运用运算律，使运算简便；（ 2）分数与分数相乘，带分数应先化成假分数，相乘前应注意约分；（ 3）小数与小数相乘，可以把小数化为分数再相乘。二、典例剖析专题一：有理数的加减运算1、（28） 6218 （82）2、3.754 51.6252 35 284943、28 117 14、 3 22 31 21.75423435、 算： 1-2+3-4+5-6+7-8+ +2010例 2某粮 17 日的粮食 存量 1300 吨

13、，下表是 粮 18 日至 24日运 和运出粮食的 ：（运 正）日期18192021222324 出（吨） +88-20-28+60-25+50-50 明各天 的意 ，并回答哪天运 的粮食最多？哪天运出的粮食最多？（ 2） 19 日 粮 的粮食 存量是多少？22 日的 存量与24 日的 存量有何关系？【变式】 体 社会 教 的尊重，教 一天上午，出租 司机小王在 西向的公路上免 接送老 。如果 定向 正，向西 ，出租 的行程如下（ 位：千米）： 15， 4， 13， 10， 12， 3, 13, 17.（ 1）最后一名老 送到目的地 ，小王距出 地点的距离是多少？（ 2）若汽 耗油量 0.4 升

14、/ 千米， 天下午汽 共耗油多少升？专题二：有理数的乘除运算1、 2 1 (513) 24 32、 153131 13 133864121515121545 三：有理数的混合运算例 4：混合运算中的易错题剖析。1、（运算律）1112 、（运算顺序）511631255210103、（拆分）72 634（运算符号）21112113329创新探究（培优训练）1、 算 1551811200912811111420122、 已知 | x 1( y 2)20 ，求 111的值3xy( x 1)(y1)(x 2008)(y2008)2007， b2008b。3、（ 2008 佛山）若 a，则 a， b 的大

15、小关系是 a2008200911114、 化 s 123200322221919a b b c 的值，5、若 a,b, c 为整数，且 a bc a1，试计算 c a、111 ) (1 11 ) (1 1 1 ) ( 1116 (32010220092201023).22009第三部分有理数的四则混合运算6一、知识梳理（一）有理数乘方幂an1.求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方 .2.乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数.一般地，在 an 中， a 取任意有理数，n 取正整数 .底数应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果.当 an 看作 a 的 n 次方的结果时

16、，也可以读作a 的 n 次幂 .3.an 就是表示 n 个 a 相乘，所以有 ana a aa（ 1） 横向观察： 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零 .（2）纵向观察： 互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等.（ 3） 任何一个数的偶次幂都是非负数.当 a 0时， an 0 （ n 是正整数）；当 a = 0 时， an = 0 （ n 是正整数）（以上为有理数乘方运算的符号法则）a2 n= (- a)2 n （ n 是正整数）； a2n- 1 = - (- a)2n- 1（ n 是正整数）a2 n0 （ a 是有理数， n 是正整数）（

17、二） 在没有括号 的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减.指数.二、典例剖析专题一：有理数的乘方例 1：计算下列各题，把答案填在横线上。53 24 =； 23 =； 52 =；=；43； （2；（- 2） =； （ - 2）=- 5） =3（ - 5） =；【变式】1、计算下面各题，把答案填在横线上。(3) 3=；( 4)2 =； ( 4) 3 =；32=；1324(0.02) 2 =； ( 1) 3 =； 32() 2 =；( 3) 323)3 =3(2) (3) 2 =； (； 47(0.25) 6 =。2、计算下列各题：44 (1)2 n(1) 2 n 1( 1)2011 （ n

18、为正整数） ( 5) 2n 15 ( 5) 2 n(2000) 2n( 1 ) 2n20007专题二：有理数的混合运算例 2： （ 1） 22( 2)2( 32 ) ( 2) 4243（ 2） 321.220.32( 1 )2( 3)3( 1)20083222（ 3）（乘方意义的理解）23253233【变式】（ 1） 14( 5) 2( 5) 0.8 13（2）（ 2）2121(0.5 1) ( ) 2( 3) 3（ 3） 22+(-2) 35-(-0.28)(-2)2（4） 14 (0.5 2)1 2 ( 3)310.52338例 3：2 2521 58731 48 22- 12- 121 152271932619 140.52123310.523382331312122313220.1252 221 ； 3 122练习： 245