现代控制理论作业题答案

1、第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1设系统的微分方程为x3x2xu其中 u 为输入量， x 为输出量。 设状态变量 x1x ， x2x ，试列写动态方程； 设状态变换 x1x1x2 ， x2x12x2 ，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。解：x101x10u ， y1x1；x223x210x2x1x1， T11； T 121； AT 1 AT ， BT 1 B ， CCT ；Tx2x2121111x11 0x11u ， y 11x1得， T；0 1 x21。12x2x29-2设系统的微分方程为y6 y 11y 6 y6u其中 u 、 y 分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型( 即

2、A 为友矩阵 ) 及可观标准型 ( 即 A 为友矩阵转置 ) 状态空间表达式，并画出状态变量图。解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，01000066x001x 0 u x 1011 x 0 u6116；016；10y6 00 xy001 x可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，ux3 s-1x2 s-1 x1 s-1x16y-6116ux1s-1x1x2x2x3s-1x36s-1y-61169-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为x1 、 x2 、 x3 。试求动态方程，并画出状态变量图。U (s)2X2(s)2X1(s)= Y(s)-s 3-s(s1)X3(s)s解：由图

3、中信号关系得， x1x3 ， x22x13x22u ， x32x2 3x3 ， y x1 。动态方程为0010x203x 2 u ， y 10 0 x ；0210状态变量图为ux2 s-1x22x3 s-1x3 s-1x12-3-3y9-4 已知双输入双 - 输出系统状态方程和输出方程x1x2u1y1x1x2x2x32u1u2，y22x1 x2x36x111x26x3u2x3写出其向量 - 矩阵形式并画出状态变量图。01010110解：状态方程x001x21 u ， yx ；211611601状态变量图为u22u1x3-13x2-1 x2x-1x122-x1y-ss-s116-y19-5 已知

4、系统传递函数为s2G (s)6s8，s24s3试求出可控标准型( A 为友矩阵 ) 、可观标准型 ( A 为友矩阵转置 ) 、对角型 (A 为对角阵 ) 动态方程。解： G(s)2s511.50.51；可控标准型、可观标准型和对角型依次为4s 3s1s3s2x01x0ux03x5x101.5u34114u3x；2；00.5。y 5 2 x uy 0 1 x uy 1 1 x u9-6 已知系统传递函数为G(s)5，(s试求约当型 ( A 为约当阵 ) 动态方程。1) 2 ( s 2)5552005011 x5 u ， y 1 1 0 x 。解： G(s)2(s 1)(s2 ； xs1)0015

5、9-7已知系统的状态方程为x101u ，11x1初始条件为 x1 (0)1， x2 (0)0 。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。解法 1：1s 10t(t )L 1e0；1s1tetett1tt1tttxe0e0dee 12e 1 。0(t1tetet0)etettettet2tet解法 2：2 1x( s)(sIA)1 Bu(s)x(0)1s 11s 11ss( s1)2s(s 1) 21s(s 1) 2；2sxL 1 x(s)2et1 。2tet9-8已知系统的状态转移矩阵3e t2e2t2e t2e 2t(t)试求该系统的状态阵A 。3e t3e2 t2e t3e 2 t ，解： A

6、(t )12。( 注：原题给出的(t ) 不满足(0)A 及(t )A (t)(t ) A 。)34t 09-9已知系统动态方程0100x23 0 x 1 u ， y 0 01 x ，1132试求传递函数 G(s) 。解： G(s)C (sI A) 1 B ，s1010s29s3000 0 1G( s) 0 0 1 2 s 3012s 6 s23s01 ；11 s 32s37s 6s 5s 1 s23s 2 2G ( s)2s27s3s37s。69-10试求所示系统的传递函数矩阵。01010110x001 x 21 u ， y21x 。6116011s101s26s11s611解： ( sI

7、A) 10 s1s36s211s66s26ss；611 s66s11s62s2 1110s26s11s6110G(s)6s26ss21 ；3211s6s11s66s11s6s201G(s)1s24s29s24s5。s36s211s64s2284s49-11 已知差分方程y(k2)3 y(k1)2 y(k)2u(k1)3u(k ) ，试列写可控标准型(A 为友矩阵 ) 离散动态方程，并求出u(k )1 时的系统响应。给定y(0) 0 ，y(1) 1。解：系统的脉冲传递函数为G( z)2z323z， U ( z)z2Y(z)G ( z)U ( z)y(0) z2z01032 x( k) 。； x(

8、k 1)2x(k )u(k) ， y(k)z 131y(1) z 3y(0)2z33z25zz2z( z1)( z1)( z 2)6(z 1)2(z1)；3(z 2)5(1) k2k 1y(k )2。639-12 已知连续系统动态方程为x0100 x ，0xu ， y 121设采样周期 T1 s ，试求离散化动态方程。解：设 u(t ) u(k) ， kTt(k1)T ；s111/ s 1/ s( s 2)2t(sIA) 1(t )10.5(e1)0s20，；1/( s 2)0e2t2T02(T )10.5(e1)d t0.25(e3)，(Tt)；020121)e0.5(ex( k1)10.5

9、(e21)0.25(e23)10 x(k) 。0e2x(k)0.5(e2u( k) ， y(k )1)9-13 判断下列系统的状态可控性：22101100 x020 x0 u ； x 0 1 0 x 1 u ；14010110110004001 x0 1 0 x0 1 u ； x040 x 2 u ；0101000111100011000 x0100x1u ； x01100u 。0001000x1110002100021012解： U000， rankU2n ；状态不完全可控；101012 U111， rankU2n ；状态不完全可控；0120001 U 10101 ， rankU 13 ；状

10、态完全可控；10111416 U2832， rankU2n ；状态不完全可控；111012 13 12123 U111， rankU3 n ；状态不完全可控；1231111232220013 1 U012 13 12， rankU4 ；状态完全可控；123111123222ab1009-14已知 adbc ，试计算？cd解：矩阵 A 的特征方程为(s)s2( a d ) s0 ， 据凯莱哈密尔定理得知：A2(ad ) A0， Ak1( ad) Ak ； A100( ad) 99A ；a10099 abb( ad )。cdcd9-15设系统状态方程为011u ，x1xba且状态完全可控。试求a

11、、 b 。解： U1b， detUab 1b20，只需 ab1。b ab1b9-16 设系统传递函数为saG (s)，7s214s且状态完全可控。试求a 。s38解：可控标准型实现的系统，无论a 取何值，系统状态完全可控。在可观标准型实现中008aa08x 1 014 x 1 u ， y 0 01 x ； U1a14 ，017001a7detUa 37a214a 8 0 ；只需 a1、 a2 且 a4 。注：由 G( s) 分子和分母的多项式互质条件，同样得到a37a 214a8 0 。9-17 判断下列系统的输出可控性：a0000 x0b00x0u ， y 1 0 0 0 x 。00c010

12、00d10100 x001x0 u ， y 10 0 x ；61161解：输出可控性判别矩阵SoCBCABCA n 1BC BABAn 1 BCU 。0000 U0000， So 00 00 ， rank So0q ，系统的输出不可控。1cc2c31dd 2d 3001 U010， So 001 ， rankSo1q ，系统的输出可控；1009-18 判断下列系统的可观测性：1222200 x011 x0 u ， y 1 10 x ； x02 0 x ， y1 1 1 x ；101103111002100100 x ， y1 0 00 xx ； x02 0 x ， y 0 1 1 x 。002

13、100100030002解：应用可观测性判别矩阵。110V131 ， rankV3；系统完全可观测；252111 V251 ， rankV3 ；系统完全可观测；41311000 V200104 ；110， rankV系统完全可观测；00021011 V023， rankV2n ；系统不完全可观测；0499-19试确定使下列系统可观测的a 、 b ：xa1x ， y11 x 。0b解： V11， detV1ba0 ，只需 ab 1 。a1b9-20已知系统各矩阵为13201100A 0 4 2 ， B 00 ， C，00100110试用传递函数矩阵判断系统的可控性、可观测性。s1321s4321

14、解： ( sI A) 10s 42(s0s 12 ，00s11)( s4)0s40传递函数矩阵为G( s)12s4；1)(s4) s40( s0121100001U0020 ， rankU3n ； V3 n ；13， rankV10102001该实现是完全可控且完全可观测的。9-21将下列状态方程化为可控标准型x12x134u 。1解：xT x； ATAT1 ， BTB ；det(sIA) s25s6 ，5111U611111，U1；T 12，T2；07186x01x0105u 。1注：若不要求计算变换矩阵，可根据特征多项式直接列写可控标准型。9-22已知系统传递函数为s1G(s),s23s2

15、试写出系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。解：系统传递函数的分子和分母多项式中有公因式(s1) ，任何 2 维动态方程不可能是既完全可控又完全可观测的。可控不可观测动态方程可观测不可控动态方程不可控不可观测动态方程01x011 x ；x3u ， y2102101 x ；xxu ， y13120x110 x 。x1u ， y009-23 设被控系统状态方程为0100x 011 x0u ，011010可否用状态反馈任意配置闭环极点？求状态反馈矩阵，使闭环极点位于 10, 1 j 3 ，并画出状态变量图。0010解： U01090， rankU3 ，系统完全可控，可用状态反馈任

16、意配置闭环极点。10100990期望的特征多项式为K()(s10)(s224)s312s224s40；ss待定参数特征多项式为(s)s3(10k39) s2(10k210k39)s10k1 ；解得， K4 1.22.1 。状态变量图如下：rux310x3x2x1x12.110s-1s-1s-14-x21.29-24设被控系统动态方程为x010u ， y10 x ，0x10试设计全维状态观测器，使其闭环极点位于r ,2r ， (r0) ，并画出状态变量图。解：期望的观测器特征多项式为L (s)(sr )( s 2r )s23rs2r 2 ；待定系数的特征多项式为( s)det(sIALC )s2

17、l1 s l 2 ；yL3r；ux2s-1x2x1s-1x12r2z3r13r0u ， x?z 。2r 23r-2r2z2r2y01zzzz?2状态变量图如右图所示。2-11-11x1ss?x29-25 设被控系统动态方程为00520x1 01 x12 u ， y 0 01 x ，01301试检查被控系统的可控性、可观测性；求输出至输入的反馈矩阵，使闭环极点位于0.22j1.3 ，0.57 ，并画出状态变量图。2005解： U 11221 ， rank U 13 ，可控性判别矩阵满秩；动态方程是可观测标准型；0115被控系统是完全可控且完全可观测的；期望的特征多项式为K (s) (s 0.57

18、)( s20.44s 1.7384) s3 1.01s21.9892 s 0.9909 ；000选取状态反馈矩阵 Kk2；则待定参数特征多项式为k1k3(s)s3(k32k23) s2(5k15k22k31)s(5k210k15)解得 K000；0.75330.30842.6068构造全维状态观测器，其极点选为2,3,5 ；则，L ( s)( s2)(s 3)(s5) s310s231s30 ，(s) s3(3 l 3 )s2( 1 l2 ) s ( 5 l1) ；3500302035即 L32 ； z 1 031 z12 u 32 y ， x?z ；70110017r 2u22-x1x1x2x2x3x3r 1-2-s-1s-1u1s-1-y53303110-z1z2zz312s-1z3s-1-s-1 z-k1k2k3x?3303110?x2x19-26 已知系统动态方程各矩阵为1200A3 1 1 ， b0