确界原理的证明

1、页眉2 数集 .确界原理( 一 )教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理难点：上、下确界定义的理解、数集确界的证明二)教学目的：1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明；2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。（三）基本要求：1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合A 的上确界为即：xA 有 x，且0,x0A, 使得x0( 三 )教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理对较好

2、学生可布置证明抽象集合的确界的习题一 区间与邻域 :区间邻 域设 a 与是两个实数，且0 ，称点集E x | | xa | 为点a 的邻域，记作 U( a)aaax.称点集U ( a) x | axa x | axa为点a 的去心邻域记作 U 0 ( a)aaax1 / 4页眉a 的右 邻域 U (a) x | a x aa的右空心邻域U0()x|axaaa 的左邻域 U( a) x | axaa 的左空心邻域U 0(a) x | ax a邻域 U ( ) x | | x | M 邻域U () x |xM 邻域U () x |xM二有界数集.确界原理 :1. 有界数集 :定义 ( 上、下有界

3、,有界 ) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数M（ L ）,使得对一切xS 都有xM ( xL ) ，则称 S为有上界 ( 下界 ) 的数集。若集合 S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。例如，区间 a , b 、 (a,b) ( a,b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合Eyysin x, x(,)也是有界数集.无界数集 :若对任意 M0 ，存在xS , | x |M ，则称 S 为无界集。例如， (,) , (, 0 ) , ( 0 ,) ，有理数集等都是无界数集,1例 1证明集合Eyy,x( 0 ,1 ) 是无界数集 .x证明：对任意 M0 , 存在1(0,1) , y1

4、xE, y M 1 MM 1x由无界集定义，E 为无界集。yM+1My1x1M1x2 / 4页眉确界， 先给出确界的直观定义：若数集S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作sup S ；上确界M上界M1M2同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作inf S 。下确界m2m1m下界精确定义定义 2设 S 是 R 中的一个数集，若数满足以下两条：（ 1）对一切 xS 有 x，即是数集 S 的上界；（ 2）对任意0 ，存在x0S 使得 x0（即是 S 的最小上界），则称数 为数集 S 的上确界。记作sup SSx0定义 3设 S 是

5、 R 中的一个数集，若数满足以下两条：（ 3）对一切 xS 有 x，即是数集 S 的下界；（4）对任意0 ，存在x0S 使得 x0（即是 S 的最大下界），Sx0则称数 为数集 S 的下确界。记作infS例 2 （ 1） S1(1) n,则 sup S_,inf S _ .n（ 2） Eyysin x,x(0,) . 则3 / 4页眉sup E_,inf E_ .注 1由确界定 ，若数集 S的上（下）确界存在， 一定是唯一的，且inf Ssup S注 2由上面例子可知，数集S 的确界可以属于S，也可以不属于 S。例 3 数集 S 有上确界， 明sup Smax S 明 （略）定理 1.1 (确

6、界原理 ). 设 S 非空数集，若S 有上界， S 必有上确界；若S 有下界， S 必有下确界。 明 不妨 S 包含非 数， S 有上界存在自然数n ，使得1）xS ,xn1； 2 ）存在 a0S ,a0n在 n , n1)内作 10 等分，分点分 ：n.1 ,n.2 , n.9存在自然数n1使得1）xS ,x11 ;2）存在a1S , a1n.n1n. n101）xS ,xn. n1 n2nk1; 2 ）存在akS , akn.n1n2 nk10 k按上述 法无限作下去，得到 数n. n1 n2nk，可以 supS 。例 4设 A 和 B 是非空数集 . 若 xA 和yB, 都有 x y, 有sup AinfB.证xA 和yB, 都有 xy,y 是 A 的上界 , 而 sup A是 A 的最小上界sup Ay.此式又sup A 是 B 的下界 ,sup Ainf B （ B 的最大下界）例 5A 和 B 非空数集 ,SAB. 明 :infSmininf A , inf B .证xS, 有xA 或 xB,由 infA和 inf B 分 是 A和 B 的下界 ,有xinfA或 xinfB.xmininf A , inf B .即mininf A , inf B是数集S 的下界 ,inf Smin infA , inf B .又 SA,S 的下界就是A 的下界 ,i