工程结构数据建模与分析.ppt

1、工程结构数值建模 与分析方法,谢 剑,Dont use a structural analysis program unless you fully understand the theory and approximations used within the program. Edward L.Wilson,关于课程,天津大学土木工程系 副教授 天津市建筑结构专业委员会 副主任 国家一级注册结构工程师,通讯地址：天津市南开区卫津路92号 天津大学土木工程系 邮政编码：300072 联系电话Email: ,谢 剑,博 士,工程结构数值建模与分析方法,课程介绍,采用工

2、程结构数值分析方法可以解决工程中比较复杂的结构计算问题。通过对该课程的学习，使学生了解目前几种常用的数值分析方法，重点应掌握有限单元法的基本原理及其方法。,内 容 摘 要,课程介绍,数值分析方法基础 杆系结构有限单元法 弹性力学问题有限单元法 薄板弯曲问题有限元法 等参数单元 动力及非线性问题有限单元法,主要参考书目,课程介绍,王勖成、邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社 江见鲸、陆新征、叶列平，混凝土结构有限元分析，清华大学出版社 朱伯芳，有限单元法原理与应用，水利水电出版社 罗定安，工程结构数值分析方法与程序设计，天津大学出版社 龙志飞、岑松，有限元法新论，水利水电出版社,为

3、什么要学？,重 要 性,科学计算是继理论科学、实验科学之后，人类认识与征服自然的第三种科学方法。,重 要 性,Dont create a computer model until the loading, material properties and boundary conditions are clearly defined.,The idea that an expert-system computer program, with artificial intelligence, will replace a creative human is an insult to all str

4、uctural engineers.,重 要 性,Computer are not, and will never be the source of solutions to engineering problems.,Although computers can be incredibly valuable tools when used by real structural engineers, they are more dangerous than weapons of mass destruction when used by those who cannot create solu

5、tions to problems in the absence of computers.,重 要 性,程序是工程师的鸦片、烟民手中的烟，请慎用。,做程序的主人，而不是沦为程序的奴隶。,深入掌握力学的基本理论，了解软件编制背景和假设，才能把好的程序变成好的工具；否则，笃信程序，不认真分析电算结果，只能慢慢丧失判断力。,重 要 性,好的软件可以充当结构工程师的左膀右臂，拓展工程师的视野，劣质的软件只会给工程师积累错误的经验，加速把工程师变成阶下囚的进程，会引发结构工程师失眠、梦中惊醒等症状。,只会用傻瓜软件的人能叫结构工程师吗？跟刚毕业的初中生有什么区别？很少看到哪位专业摄影师拿着傻瓜相机去采

6、风去创作，同样，专业的结构工程师也不屑用傻瓜式的结构软件。,学什么？,分析方法,举例说明：韩信点兵的问题,韩信点兵问题,实际问题,韩信带领近千名武士进行操练，排阵时若3人一列，则余2人；若5人一列，则余3人；若7人一列，则余2人。 求：最多有多少名武士？,设武士数为X，则X在数学上应符合下列条件：,数学模型,1. X=3N1+2，N1为整数。,2. X=5N2+3 ，N2为整数。,3. X=7N3+2 ，N3为整数。,4. X1000，且X为最大值。,直接求解，困难！,求解方法,借助电子计算机快速计算的功能，Easy！,But，HOW？,程序设计.,令X取从1到1000的所有数值，则符合条件的

7、最大X即为所求。,程序设计,编程工具的选择,Fortran,VB,Delphi,令X取从1到1000的所有数值，则符合条件的最大X即为所求。,算法优化,令X取从1000到1的所有数值，则符合条件的第一个X即为所求。,加速循环,起源: 50年代飞机结构矩阵分析 Argyris, Turner, Clough 60年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域,实质: 对力学模型进行近似数值计算的方法,将无限自由度问题变成有限自由度问题,分析过程:结构离散化,确定位移模式,单元特性分析 整体分析,解方程,输出计算结果,其他处理,杆系结构,学习方法:与矩阵位移法对比 了解基本原理,各种方法的共性与实质 通

8、过自编程序进一步熟悉原理,连续体,应用状况:标准通用软件SAP2000,ANSYS, 各种专用程序,有限元法绪论,有限元分析的流程图,有限元法的基本架构,有限元法是将所探讨的工程系统转化为一个有限元系统，该有限元系统由结点及单元组成，以取代原有的工程系统；有限元系统可以转化成一个数学模式，并根据该数学模式，进而得到该有限元系统的解答，并通过结点和单元表现出来。,梁 模 型,平面应力模型,有限元分析过程,实际问题,实体模型,有限元模型,简化处理,单元划分,分析结果,单元分析+整体分析,工程结构的分类（按构件的几何特征）,杆件结构,薄壁结构,实体结构,板,壳,杆件结构：长度远大于横截面尺寸（宽和高

9、）；,薄壁结构（平板、曲壳）：两方向的尺寸（长和宽）远大于 另一方向的尺寸（高）；,实体结构：三方向的尺寸具有同阶大小。,P,1,2,3,4,直接刚度法解杆系平面结构,局部坐标系中的单元刚度矩阵,概述,整体坐标系中斜杆的单元刚度矩阵,结构的结点荷载列阵,整体刚度矩阵,支承约束条件,本章教学要求,通过本章内容的学习，重点了解有限元分析的思路和方法，并能应用于实际工作。 有限元法求解问题的思路或方法变复杂为简单，变未知为已知。,概述,概述分析方法,概述分析方法,离散化,单元分析,整体分析,整体分析的任务是保证结构从离散状态恢复原状所必需的。,单元分析的任务就是要建立单元结点处力学参数之间的关系。,

10、离散化是指对连续结构进行剖分。,局部坐标与整体坐标,单元分析,整体分析,在单元分析时，采用局部坐标（X轴与杆件轴线重合，系统方向遵循右手法则）。,在整体分析时，采用整体坐标（坐标轴可以任意选取，系统方向遵循右手法则）。,局部坐标系,整体坐标系,直杆单元刚度矩阵,局部坐标系中的单元刚度矩阵,轴力杆单元刚度矩阵,局部坐标系中的单元刚度矩阵,轴力杆单元刚度矩阵,局部坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标系中的单元刚度矩阵,平面梁单元刚度矩阵,忽略轴向力和轴向变形，只考虑剪切与弯曲变形。,局部坐标系中的单元刚度矩阵,1端的单位位移,1端的单位转角,局部坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标系中的单元刚度矩阵,局部

11、坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标系中的单元刚度矩阵,平面刚架单元刚度矩阵,在小变形的线性系统下，认为轴向变形与弯曲变形之间相互独立、互不影响。,局部坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标系中的单元刚度矩阵,单元刚度矩阵是对称矩阵；,单元刚度矩阵是奇异矩阵；,刚度元素Kij的物理意义是，当单元仅在第j个方向上有一个单位位移时，在第i个方向上产生的杆端力的大小。,斜杆单元刚度矩阵,整体坐标系中的单元刚度矩阵,在整体分析时，各单元需要统一的坐标系整体坐标系。,局部坐标系下 单元刚度矩阵,整体坐标系下 单元刚度矩阵,坐标变换,杆端位移 杆端力,杆端位移 杆端力,坐标变换,坐标变换

12、,坐标变换,坐标变换,坐标变换,引入符号,坐标变换,坐标变换,坐标变换,轴力单元刚度矩阵,轴力单元刚度矩阵,轴力单元刚度矩阵,轴力单元刚度矩阵,用于求解平面桁架结构,平面梁单元刚度矩阵,平面刚架单元刚度矩阵,教参4 公式（1-21）,结点荷载列阵,结点荷载列阵,直接结点荷载,非结点荷载,等效结点荷载,+,综合结点荷载,结点荷载列阵,结点荷载列阵,直接结点荷载,非结点荷载,等效结点荷载,+,综合结点荷载,求直接结点荷载列阵,将直接施加在各结点上的荷载按三个方向分解，并按结点序号排列成列阵的形式即可。,求直接结点荷载列阵,求等效结点荷载列阵,各单元固端力累加,求等效结点荷载列阵,求等效结点荷载列阵

13、,求等效结点荷载列阵,求综合结点荷载列阵,结构的荷载列阵,例 考虑右图所示平面刚架，求其综合结点荷载列阵,解 将结构离散为3 个单元、4个结点,结构的荷载列阵,1、直接结点荷载列阵,结构的荷载列阵,2、局部坐标下单元固端力,结构的荷载列阵,3、非结点荷载对等效结点荷载的贡献,结构的荷载列阵,（1）号单元,结构的荷载列阵,（1）号单元,结构的荷载列阵,（2）号单元,结构的荷载列阵,（3）号单元,结构的荷载列阵,（3）号单元,结构的荷载列阵,等效结点荷载列阵,结构的荷载列阵,综合结点荷载列阵,整体刚度矩阵,整体刚度矩阵,整体刚度矩阵,整体刚度矩阵,变形协调条件,静力平衡条件,整体刚度矩阵,变形协调

14、条件,整体刚度矩阵,整体刚度矩阵,整体刚度的形成，可以按结点分析逐行得到。在实际应用中，也可以将总刚看成是各个单刚贡献组集的结果。因此，在组集的时候，可以按单元先后顺序，先生成单元刚阵，再将单元刚阵中各元素叠加到总刚相应的行、列中，而这个行列号是根据单元杆端编号计算出来的。 对号入座法,半带宽存储,半带宽存储,结点半带宽计算公式,半带宽存储,合理的编码原则是使每结点码与周围结点码尽可能接近。,整体刚度矩阵,整体刚度矩阵为一个奇异矩阵，不能求出唯一解。必须要引入其他条件，进一步改造整体刚度矩阵。,支承约束条件,支承约束条件,支承约束条件的引入,1）若给定支座处位移为0，可将K阵中对应的行和列进行

15、修改：对角线元素为1，其余均为0；P列阵相应元素改为0。,2）若给定支座处位移非零，可将K阵中相应的对角线元素乘一个大数，其余行列元素不动；P列阵相应元素也乘该大数。,支承约束条件的引入,自由结点位移,约束结点位移,支承约束条件的引入,若支座无沉陷,非奇异矩阵,自由结点位移,支座反力,支承约束条件的引入,若无荷载作用，已知,支承约束条件的引入,示例,1m,1m,1m,p=40kN,q=24kN/m,m=45kNm,空间杆系结构,对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯性主轴。,一维铰接杆单元，横截面积为A，长度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2个结点i，j，单元坐标为一维坐

16、标轴x。,1、一维杆单元,单元结点位移向量,1、一维杆单元,单元结点位移向量,单元结点力向量,2、平面桁架杆单元（2D LINK1）,局部坐标单元位移向量,看成局部坐标下的拉压杆,2、平面桁架杆单元（2D LINK1）,单元刚度矩阵,3、空间杆单元（3D LINK8）,局部坐标单元位移向量,3、空间杆单元（3D LINK8）,对于等截面铰接杆单元，,4、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元,局部坐标下单元位移向量,4、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元,适合于连续梁分析,整体坐标与局部坐标方向一致,5、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 （平面刚架，BEAM3),局部坐标单元位移和单元力,5、两端承受

17、轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 （平面刚架，BEAM3),6、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元 （面外弯剪扭梁单元）,此类单元适用于受面外荷载的平面框架。,6、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元 （面外弯剪扭梁单元）,如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形，弯曲和扭转之间是相互独立的。,6、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元 （面外弯剪扭梁单元）,另外，扭转仅限于纯扭转或称均匀扭转。其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。即,式中：GJ为截面扭转刚度。,6、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁

18、单元 (面外弯剪扭梁单元）,7、空间梁单元 （BEAM4）,空间梁单元，每个节点有6个自由度，单元自由度为12。下图给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号。单元力的正向及其编号与单元位移相同。,综合前述结果，得空间梁单元局部坐标单元刚度矩阵。,课后作业题1,图示阶梯形直杆，各段长度均为l，横截面积分别为3A、2A、A，材料重度为，弹性模量E。求结点位移和各段杆中内力。,课后作业题2,某变截面梁，一端固定，另一端铰支。梁长为2l，固支端的截面尺寸为b1.6h，铰支端的截面尺寸为bh。梁上作用均布载荷p0。求梁端的约束反力。,弹性力学平面问题的有限单元法,弹性力学平面问题基本方程式,平面问题

19、的两种类型,弹性力学平面问题的有限单元法,平面问题有限元法公式与推导,平面问题的整体分析,其他单元形式和插值函数,本章教学要求,通过本章内容的学习，重点掌握单元的构建方法、分析方法和各自的属性特点，学会各种单元的比较和选择，并能在实际工作中得以应用。,平面问题的两种类型,平面问题的两种类型,一、平面应力问题,几何特点：,均匀薄片，厚度很小；,受力特点：,表面力平行于薄片平面，且不沿厚度变化,体积力平行于薄片平面，且不沿厚度变化,平面问题的两种类型,一、平面应力问题,应力特点：,未知量：,平面问题的两种类型,二、平面应变问题,几何特点：,无限长的柱形体或棱柱体,受力特点：,表面力垂直于纵轴线并不

20、沿柱形体长度变化,体积力垂直于纵轴线并不沿柱形体长度变化,平面问题的两种类型,二、平面应变问题,应变特点：,物理方程,基本方程式,平面问题的基本方程式,1、几何方程（位移与应变关系式）,伸长为正、直角变小为正,平面问题的基本方程式,2、物理方程（应力与应变关系式）,平面应力问题的物理方程,平面问题的基本方程式,平面应力问题的物理方程,平面问题的基本方程式,弹性矩阵D,D,平面应变问题的物理方程,平面问题的基本方程式,平面应变问题的物理方程,平面问题的基本方程式,平衡方程式（应力与体积力关系）,平衡方程式与边界条件,由内部微分体：,边界条件（应力与表面力关系）,平衡方程式与边界条件,由边界微分体

21、：,变形连续体平衡的必要与充分条件是：对于任意微小的虚位移，外力所做的总虚功，等于变形体所接受的总虚变形功。,虚功方程式,外力虚功=虚变形功,虚功方程式,=,状态1：实际状态,状态2：虚拟状态,虚功方程式,=,平面问题的有限元法,平面问题的有限单元法,离散化,单元分析,整体分析,整体分析的任务是保证结构从离散状态恢复原状所必需的。,单元分析的任务就是要建立单元结点处力学参数之间的关系。,离散化是指对连续结构进行剖分。,平面问题的有限单元法,离散化：将连续结构离散成若干个基本单元； 单元形状可以是三角形、矩形或多边形； 认为单元之间只在结点处相互连接； 在位移为零处的结点设置链杆，并把这 些链杆

22、看成是结构的支座。,三角形剖分,利用调整三角形边长的大小，能够对任意形状的边界和曲线形状的边界作更精确的描述。,平面问题的有限单元法,注意事项：,2、单元大小：根据精度要求及计算机的容量、速度来确定，不同的部分可以采用不同大小的网格。,3、单元形状：三角形的三个边长不能相差太大，常采用等腰直角三角形或等边三角形。,1、结点之间只传递位移，故结点为铰结点。,平面问题的有限单元法,任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角形单元的顶点，而不能是其相邻三角形单元边的内点。,使每个三角形单元的三个边长之间不要悬殊太大；否则，在计算中会出现过大的误差。,应尽可能使网络具有某种规则形式，使每个内结点为六个

23、三角形的共同顶点，并且六个内角大小不要相差太悬殊。,平面问题的有限单元法,单元分析：研究每个单元内力与变形参数的关系， 导出结点力与结点位移的关系，即单 元刚度矩阵。,平面问题的有限单元法,整体分析：按连续条件和平衡条件拼装单元，得 出整体刚度矩阵，建立结构刚度方程； 考虑边界约束条件对整体刚度矩阵进 行修正，求解方程组确定位移未知数。,公式与推导,平面问题有限元法公式与推导,单元分析,结点位移,结点力,物理方程,平面问题有限元法公式与推导,单元分析,结点 位移,用插值方法求内部各点位移,应变,应力,结点力,位移函数,几何方程,平衡方程,位移函数概念 位移函数也称“位移模式”，是单元内部位移变

24、化的数学表达式，设为坐标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。,平面问题有限元法公式与推导,单元位移函数,结点位移,内部各点位移,插值函数,插值函数一般采用多项式的形式,单元位移函数,单元位移函数,单元位移函数,单元位移函数,单元位移函数,单元位移函数,单元位移函数,单元位移函数,N(x , y)为位移的形态函数,当u1=1，其他结点位移皆为零时，,当v1=1，其他结点位移皆为零时，,单元位移

25、函数,Ni(xj , yj) =ij = 在单元中任一点，各插值函数之和应为1 N1 + N2 + N3 = 1 插值函数为线性，单元内部位移由结点位移唯一确定，可保证相邻单元在公共边界上位移的连续性,1 i=j 0 ij,单元位移函数,单元位移函数的收敛性当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。 证明过程：教参4，P70,单元分析,物理方程,结点 位移,用插值方法求内部各点位移,应变,应力,结点力,位移函数,几何方程,平衡方程,单元应变函数,单元应变函数,几何矩阵,单元分析,物理方程,结点 位移,用插值方法求内部各点位移,应变,应力,结点力,位移函数,几何方程,平衡方程,单

26、元应力函数,平面应力问题,平面应变问题,单元分析,物理方程,结点 位移,用插值方法求内部各点位移,应变,应力,结点力,位移函数,几何方程,平衡方程,由应力求结点力,由虚功方程代替平衡方程,单元分析,物理方程,结点 位移,用插值方法求内部各点位移,应变,应力,结点力,位移函数,几何方程,平衡方程,位移函数,应变函数,应力函数,虚功方程,结点位移求应力,结点位移求结点力,单元刚度矩阵,平面问题的整体分析,整体分析,建立整体刚度矩阵,引入支承条件,解方程求位移,求应力,建立整体刚度矩阵,由单元刚度矩阵对号入座形成,包括作用在非结点处的表面力与体积力所产生的等效结点荷载。等效原则采用与静力所作的虚功相

27、同的原则。,荷载列阵的建立,1）任意点上的集中荷载,荷载列阵的建立,2）体积力,荷载列阵的建立,将作用在微分体积上的合力作为集中力，然后进行积分。,3）表面力,将作用在微分体积上的合力作为集中力，然后进行积分。,均质等厚单元的自重,均布侧压,x,q,x方向均布载荷,x,2,1,3,q,l,x方向集中力,x方向三角形分布载荷,支承条件的引入,1）若给定支座处位移为0，可将K阵中对应的行和列进行修改：对角线元素为1，其余均为0；P列阵相应元素改为0。,2）若给定支座处位移非零，可将K阵中相应的对角线元素乘一个大数，其余行列元素不动；P列阵相应元素也乘该大数。,支承条件的引入,其他单元形式和插值函数

28、,弹性问题单元分析,物理方程,结点 位移,用插值方法求内部各点位移,应变,应力,结点力,位移函数,几何方程,平衡方程,选取位移函数应考虑的问题,（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。三结点三角形单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；,（3）位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于单元结点自由度总数，以便用单元结点位移确定位移函数中的待定常数。三结点三角形单元有6个结点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。,（2）位移函数是坐标的函数 平面单元的坐标系为：x、y；,（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。,（5）位移函数中必须包含单元的常应变。,（6）位移函数在单元内

29、要连续。相邻单元间要 尽量协调。,条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三结点常应变单元满足以上必要与充分条件。,（7）位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元结点自由度数。,关于形态函数,有限单元法中，当单元形状和相应的形态函数确定以后，剩下的运算可依照标准步骤和普遍公式进行，比较简单。因此，在有限单元法中，形态

30、函数的作用十分重要。,形态函数,物理方程,结点 位移,用插值方法求内部各点位移,应变,应力,结点力,位移函数,几何方程,平衡方程,形态函数,形态函数是定义于单元内部的、坐标的连续函数，它应满足下列条件： 在结点i，Ni =1；在其他结点，Ni0 能保证用它定义的未知量在相邻单元之间的连续性 应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移可满足常应变条件 应满足下列等式：Ni = 1，以便用它定义的单元位移能反映刚体移动,四结点矩形单元,四结点矩形单元,位移函数（双线性位移模式）,在边界上，位移是按线性变化的，且相邻单元上公共结点上有共同的结点位移值，因此保证了两个相邻单元在公共边界上位移的连续性。,

31、位移连续性,单元位移函数,双线性单元,形态函数的特点同前,四结点矩形单元,单元应变,四结点矩形单元,单元应力,的主项沿 y 方向线性变化，它的次要项沿 x 方向线性变化；,的主项沿 x 方向线性变化，它的次要项沿 y 方向线性变化；,沿 x 及 y 都成线性变化。,应力分量不是常量,四结点矩形单元,单元缺陷,一个方向为常量，另一个方向呈线性变化的情况通常并不能提高单元的精度。 不能很好地符合曲线边界，包括与坐标轴不平行的直线边界。,六结点三角形单元,六结点三角形单元,位移函数,位移连续性,单元边界上位移按二次抛物线分布，三个公共结点正好可以保证相邻单元位移的连续性。,六结点三角形单元,单元应变

32、,单元应力,六结点三角形单元,这种单元的应变在两个坐标方向上都呈线性变化，应力也呈线性变化。因此，单元精度较三结点三角形单元高。,十结点三角形单元,十结点三角形单元,位移函数,位移连续性,单元边界上位移按三次曲线分布，公共边上四个结点正好可以保证相邻单元位移的连续性。,单元应变,单元应力,十结点三角形单元,十结点三角形单元,这种单元为三次单元，位移模式是完全的三次多项式，单元的应变和应力是二次函数。因此，单元精度较六结点三角形单元高。,空间问题有限元,常应变四面体单元,常应变四面体单元,位移函数,常应变四面体单元,单元应变,几何矩阵 B 由结点坐标决定，因此，单元中应变分量都是常量。,常应变四

33、面体单元,单元应力,弹性矩阵 D 由材料特性决定，因此，单元中应力分量都是常量。,常应变四面体单元,单元刚度矩阵,1 (2, 2),2 (6, 3),3 (5, 6),q1,q2,要求：写出上图所示三角形单元的形态函数及结点荷载向量,x,y,各种单元的比较与选择 （平面单元）,单元的选择与计算精度、计算时间及准备工作等有关。,各种单元的比较与选择,按位移法（最小势能原理）求出的位移近似解，其值将小于精确解，这种位移解称为下限解。 按位移法求解时，必须先假定单元位移函数。这些位移函数是连续的，却是近似的。从物体中取出的一个单元，作为连续介质的一部分，本来具有无限个自由度，在采用位移函数以后，只有

34、以结点位移表示的有限个自由度。位移函数对单元的变形能力有所限制，使单元的刚度增加了，物体的整体刚度也随之增加了，因此计算的位移近似解将小于精确解。,各种单元的比较与选择,各种单元的比较与选择,B,A,B,A,各种单元的比较与选择,以上计算成果表明：对于以弯曲为主的单薄结构，如土基中的混凝土防渗墙、隧洞衬砌等等，不宜采用等应变三角形单元，因为这类构件比较薄，在厚度方向要布置5排以上的单元比较困难，而单元在4排以下时，计算误差比较大，最好采用8结点的等参数单元或高次三角形单元。 同时，对于拱坝等空间结构，不要采用常应变四面体单元，最好采用20结点等参数单元，或高次四面体单元。,各种单元的比较与选择

35、,各种单元的比较与选择,各种单元的比较与选择,为了达到同样的精度，高次单元的数目可以减少，自由度总数随之减少。因此，信息准备的工作量较少，求解方程组的机器时间也较少。 除了每个结点有 6 个参数的单元外，高次单元的带宽较大，对于同样的自由度，需要较大的存储容量。高次单元最重要的缺点是单元刚度矩阵比较复杂，在形成刚度矩阵时要消耗较多的机器时间，尤其是等参数单元，其刚度矩阵必须通过数值积分才能算出，形成刚度矩阵所需机器时间更多。 但在多数情况下，这些缺点能为自由度的减少所弥补。,各种单元的比较与选择 （空间单元）,各种单元的比较与选择,六面体单元，形状规则，难以适应工程结构的复杂外形，目前应用很少

36、。 四面体12自由度单元，由于其刚度矩阵简单，也能适应复杂的几何外形；单元内部应变是常量，必须采用大量的密集的单元，才能取得较好的应力效果。 四面体48自由度单元，单元应变是二次函数，计算精度较高；它适应复杂几何形状的能力优于六面体单元，但不如等参数曲面单元。 等参数单元既有较高的计算精度，又能适应复杂的几何形状，应用日渐广泛。,各种单元的比较与选择,各种单元的比较与选择,各种单元的比较与选择,等参数单元I60对于两种结构的计算精度都很高； 等参数单元I24对于悬臂梁的计算精度还算满意，对于薄板的计算精度就比较差； 由5个或6个常应变单元组合的单元5T12和6T12，对两种结构的计算精度都很差

37、； 由5个线性应变单元组合的单元5T30的计算精度是比较好的，但它的表面是平面，无法贴合结构的复杂外形； 等参数单元的刚度矩阵是各向同性，而5T30的单元刚度矩阵却在三个方向略有差别。,各种单元的比较与选择,长悬臂梁,I60,I24,(m, n) 网格型式,等参数单元I60计算效果好。,各种单元的比较与选择,深悬臂梁,等参数单元I24计算效果好。,I60,(m, n) 网格型式,I24,各种单元的比较与选择,对于空间问题，20结点等参数单元可以很好地反映板弯曲作用，在厚度方向只要取一层单元就可以计算弯曲作用比较显著的结构。 对于内部剪应力较显著的大体积结构，8结点等参数单元可能更为有效。 当存

38、在应力集中现象时，四面体单元因可采用密集的网格以适应急剧变化的应力场，仍是值得考虑的一种形式。 当结构非常单薄时，采用空间单元计算，可能出现病态方程，对于这类结构，最好采用薄板或薄壳单元计算。,关于形态函数,有限单元法中，当单元形状和相应的形态函数确定以后，剩下的运算可依照标准步骤和普遍公式进行，比较简单。因此，在有限单元法中，形态函数的作用十分重要。,形态函数,物理方程,结点 位移,用插值方法求内部各点位移,应变,应力,结点力,位移函数,几何方程,平衡方程,形态函数,形态函数是定义于单元内部的、坐标的连续函数，它应满足下列条件： 在结点i，Ni =1；在其他结点，Ni0 能保证用它定义的未知

39、量在相邻单元之间的连续性 应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移可满足常应变条件 应满足下列等式：Ni = 1，以便用它定义的单元位移能反映刚体移动,单元形态与单元布置,单元形状对应变的影响,结点3的雅克比矩阵行列式为：,此时雅克比矩阵无法求逆，无法求出结点 3 处的应变。在它附近的应变，即使可以求出，计算误差也是很大的。因此，各单元的顶角不能接近180o，一般应尽量保持在90o左右。,棱边结点间距对应变的影响,如果同一条边上的结点间距相差过大，对计算结果会产生影响。例如，当二次等参数单元的棱边中点从正常位置移到边长处时，在角点1处的应变将趋于无穷大。,因此，边中点应布置在中间1/3区间内，

40、尽量靠近边中点。,等参单元的加密,在结构内的应力是不均匀的，在应力梯度小的区域，单元可以稀一些；在应力梯度大的区域，应该密集一些。,应力计算结果的处理,应力近似解的性质,应变近似解和应力近似解在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正好等于精确解。,等参元的最佳应力点,在等参元中，高斯积分点上的应变或应力近似解比其他部位具有较高的精度，这些积分点称为最佳应力点。,应力平均,取相邻单元的应力平均值 算术平均值 面积加权平均值 取围绕结点各单元应力的平均值,总体应力磨平,构造一个改进的应力解，此改进解在全域上是连续的，改进解与有限元计算的应力解应满足加权最小二乘的原则,单元应力磨平,为减少改进应力结

41、果的工作量，可以采用单元应力的局部磨平。 采用单元应力局部磨平的方法，对于同一结点，由不同相邻单元求得的应力改进值通常是不相同的。可把相关单元求得的改进结点值再取平均作为最后结点的应力值。,子结构分析,子结构分析,在分析大型复杂结构时，由于单元数量多，方程组往往十分庞大，以至超出了计算机的存储容量。 这时可以把原结构分为几个区域，每一个区域称为一个子结构，这些子结构在它们的公共边界上互相连结起来。 先分析子结构，通过静力凝聚消去子结构的内部自由度，然后进行整体分析。这时只要考虑结构约束边界及相邻子结构公共边界上的自由度，问题的规模比原结构当然要小得多了。,子结构分析,子结构分析,子结构分析,杆

42、件与块体的连接,杆件与块体的连接,在用有限单元法计算实际工程结构时，经常会遇到不同结构构件的连接问题，如杆件结构与块体结构的连接问题。 如何将杆件单元与块体单元连接起来？,杆件与块体的连接,方法一：杆件部分与块体部分都采用块体单元 由于杆件中应力梯度较大，必须采用比较密集的计算网格，将大大增加计算量。 方法二：杆件部分采用杆件单元，块体部分采用块体 单元 由于杆件单元的结点自由度除了线应变外，还有角应变，而块体单元的结点自由度只有线位移，所以在杆件与块体之间的接触面上，存在着两种单元的自由度匹配问题，需要采用连接单元。,杆件与块体的连接,连接单元ijm 在 j 点，刚臂与块体固结； 在m点，刚

43、臂与块体之间用滚轮连接 因此，刚臂不承受轴力，只承受弯矩和剪力，以保证杆件与块体在接触处角变形的连续。,杆件与块体的连接,在杆件单元 ij 的下面连接 2 支刚臂，刚臂jm正交插入块体，用以保证角变位yj、zj的连续；刚臂 njp，平行于块体表面，用以保证扭转角变位xj的连续。,1、板壳结构：平板、壳体 平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向 。对于薄板板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。,壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当然：对

44、于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。,考虑横向剪切影响的平板弯曲单元,在薄板单元中，构造协调单元的困难在于单元间要求斜率的连续性。如果放弃薄板理论的直法线假设，考虑横向剪切的影响，有可能绕过这一困难。假设：中面法线变形后仍为直线，但绕x、y轴转动了x、y.。,上述假定基于汉盖理论。根据该假定，则板内任意一点的位移分量具有如下形式：,增加自由度：扭率或曲率 增加边中结点或限制。,代入几何方程，应变矩阵：,应力矩阵,弹性矩阵,平板的变形由中面挠度w和法线绕x、y轴的转角x、y.确定。每个结点取它们作为自由度，采用8结点平板单元。 中面上任意点的挠度和转角可以表示为：,由此可得位移模式,应变分量,

45、应力分量,内力计算,单元刚度矩阵,等效结点荷载： 设单元表面作用有均布荷载q(x,y)，等效结点荷载为,例：承受均布荷载q的方板，四边简支。4X4网格，挠度？,四边简支板,平面壳体单元,平面壳体单元的应力状态是由平面应力和弯曲应力单元的叠加，因此，构造壳体平面单元时，只需要将前面的两种单元简单叠加组合即可。值得注意的时，壳体平面单元用于分析壳体结构时，需要对单元刚度矩阵、等效结点荷载和结点位移等进行坐标变换。 结点位移：5个位移，即ui,vi,wi,xi, yi,前两个对应为平面应力问题，后三个对应平板弯曲问题。对应结点力为,在局部坐标中，节点位移不含z，但为了将局部坐标下的刚度矩阵转换到整体

46、坐标系，须将z加入节点位移中。即：,平板壳体单元刚度矩阵的子块矩阵,考虑横向剪切影响的壳体单元,采用平面单元模拟曲面结构，不够理想，而采用曲面单元效果更好，单元数量也会相应减少。 采用薄板理论的直法线假设使得中面转动依赖于中面位移，给位移模式的构造带来困难。如果考虑横向剪切变形的影响，就可以认为中面转动是独立变量而不在依赖于位移的一阶导数。因此，只需要单元边界上的位移函数的连续性就可以，从而避开了要求一阶导数的连续性。 实际中常用八结点40自由度四边形单元来考虑剪切变形对壳体单元的影响。该类单元适合于薄壳和厚壳。,1、单元几何形状的确定 8结点壳单元，象类似空间等参单元一样，引入一个自然坐标系

47、o。命为壳体中面上的曲线坐标；=1对应顶面， =-1对应底面。在单元中面上选8个结点，过各结点i(i=1,28)作中面的法线，交顶面和底面的点称为结点i的对点。其坐标记为：,显然，结点i处中面法线方向可以用下列单位矢量确定,单元类任意一点的坐标可以通过形函数Ni(,)的插值表示：,这样，利用8对点的整体坐标，按上式就可近似地确定单元的形状。,2、位移模式,假定中面法线V3i变形后仍为直线，但是不再是变形后的中面法线，有绕V1i和V2i的转角i、i。则单元内任意点的位移可以表示为,写成标准形式,应变计算,应力计算（单元坐标）,单元刚度矩阵（单元坐标）,等效结点荷载,体力,面力,等参数单元,线性单

48、元与双线性单元,二维平面等参数单元,三维空间等参数单元,线性单元与双线性单元,线性单元,形态函数是坐标的线性函数，称为线性单元，单元内各点的应力与应变均为常数。,线性单元,形态函数的特点：,1、在结点i处为1，其余结点处为0；,2、与位移函数具有同样的类型；,3、,双线性单元,双线性单元,形态函数的特点同前,双线性单元,应变,几何矩阵,双线性单元,应力,应力矩阵,双线性单元,几何矩阵与应力矩阵都是坐标的函数，所以应变和应力也是坐标的函数。,双线性单元,无量纲化,双线性单元,二维平面等参数单元,二维平面等参数单元,将不规则四边形变为局部坐标系下的正方形，在局部坐标系中选择完备、连续的位移函数，进而求得应变、应力和单元刚度矩阵，再根据坐标变化求得在原坐标系中的对应数值。,二维平面等参数单元,二维平面等参数单元,坐标变换存在且唯一,二维平面等参数单元,位移函数,二维平面等参数单元,坐标变换函数,二维平面等参数单元,应变公式,二维平面等参数单元,应变公式,二维平面等参数单元,应力公式,二维平面等参数单元,单元刚度矩阵,二维平面等参数单元,高斯积分,二维平面等参数单元,荷载列阵,二维平面等参数单元,建立结点平