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1、第二章 离散时间信号与系统分析基础,21 信号的采样及采样定理,2.1.1. 引言,离散时间信号可认为是对模拟信号的采样。,有必要讨论采样后，,（1）信号的内容是否有丢失？,（2）信号的频谱有何变化？,（3）采样信号能否恢复为原信号？,显然，采样间隔的选取是很重要的。,太小，显然信息不易丢失，但却使数据量, 采样,来；,大，则易丢失信息，使一些细节内容无法反映出,明显增大，处理费时。,定理。,2.1.2. 信号的采样,1采样的过程,采样的过程即为模拟信号通过一个定时通断的,开关的过程。,而,应适当地选择,直观地看,从数学的角度看，可认为是模拟信号,串幅度为1，宽度为,，周期为,的脉冲信号,乘积

2、。,，可将,近似为一串冲,激,，采样后信号则近似为模拟信号与冲激序列,的乘积：,工程上，当,与一,的,在这样的近似后，可,使分析简化。,设模拟信号,的频谱为,= ,冲激序列,，其频谱为,采样率,根据卷积定理，采样信号,的频谱,为,与,的卷积,图1,图2,=,=,返回,可见，信号在时域的离散化导致了频域的周期,且应注意到，采样后信号频谱的变化与信号的,最高频率,及采样率,之间的关系有关。,若,，尽管信号频谱的幅度发生了变化,且出现了周期延拓，但观察其基带,频谱，,各频率分量的相对值与原信号频谱完全相同，信,化。,息并未丢失。,如果使该采样信号通过一个理想低通,滤波器，滤波器只允许,的频率分量通过

3、，且,在幅值上放大,倍，则滤波器输出信号的频谱将与,原信号频谱完全相等，即仍为,由于傅立叶变,换在时域与频域之间的一一对应的关系，滤波器,输出的信号即为原模拟信号,。,。,=,以上分析回答了前面提出的三个问题：,（1）信号在时域以,离散化,频谱以,化，且幅度乘以,；,周期,（2）若,，信号的内容不会丢失；,（3）,时，若使采样信号通过理想低通,滤波器：,即可恢复原信号。,若,，各次谐波调制频谱将相互交叠，称,为频谱混叠。,这时基带频谱已发生变化，将无法无,失真地恢复原信号。,观察采样信号的频谱，可看到,镜子，将信号频谱超过,处就象一面,的部分反射回来，造成,混叠，故将,称为折叠频率。,=,=,

4、=,?,2时域采样定理,设连续信号的频谱仅存在于区间,，为了,使采样信号不丢失信息，能够不失真地恢复出原信,号，采样率,必须大于,。,满足采,样定理的,称为Nyguist采样率。,3频谱混叠现象的说明,(1) T=0.2秒,1,fs=5Hz,2,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,3,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,4,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,5,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,1,1,fs2f,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,fs=1.25Hz,(2) T=0.8秒,1,2,fs2f,(2) T=0.8秒,fs=1.25Hz,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,1,f

5、s2f,3,(2) T=0.8秒,fs=1.25Hz,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,1,fs2f,4,(2) T=0.8秒,fs=1.25Hz,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,1,5,fs2f,(2) T=0.8秒,fs=1.25Hz,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,1,1,fs2f,fs2f,(3) T=1秒,1,2,3,4,5,fs2f,(2) T=0.8秒,fs=1.25Hz,fs=1Hz,(1) T=0.2秒,fs=5Hz,2.1.3. 频域采样定理,设信号仅存在于区间,，为使频谱经均匀,采样后不丢失信息，能够不失真地还原出原来的连,续频谱，频域采样间隔,应足够小，使,。

6、,时域,2.1.4. 采样定理的实际应用,实际应用中，由于信号的时长总是有限的，时,域有限频域无限。,逐渐衰减的，采样时，,但高频成分随频率的增高总是,（1） 近似地忽略,的频率分量；,（2） 选取采样率,；,（3） 为避免高于折叠频率的杂散频率分量进,入采样器造成频谱混叠，常在采样器前面加一个保,护性的前置低通滤波器，以阻止高于,的频率分,量进入采样器。,工程近似,今后在讨论数字信号时，均假定已做过上述处,理。,2.1.5. 采样的恢复,采样的过程是将连续时间信号离散化的过程，,而将采样信号恢复则是由离散恢复为连续的过程。,1理想低通滤波器,恢复原信号即为让采样信号通过一个理想的低,通滤波器，滤除掉其各次谐波调制频谱，只允许基,带频谱通过，以恢复原信号的频谱。,由于频谱与信,号的一一对应关系，即恢复了原信号。,理想低通滤波器的频率响应为, -1 ,其单位脉冲响应,2采样内插公式,时域卷积