选修2-1二面角及其向量课时作业

1、课时作业23二面角及其度量时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1已知平面内有一个以AB为直径的圆，PA，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则()AADE是二面角APCB的平面角BAED是二面角APBC的平面角CDAE是二面角BPAC的平面角DACB是二面角APCB的平面角【答案】B【解析】由二面角定义及三垂线定理知选B.2过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，如果PAAB，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为()A30B45C60 D90【答案】B【解析】设PAABa，则PDa，设二面角为，则cos.45，故选B

2、.3若分别与一个二面角的两个面平行的向量m(1,2,0)，n(1,0，2)，且m、n都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为()A. B.C. D.【答案】B【解析】设二面角为，则cos|cosm，n|，sin.4二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45C60 D120【答案】C【解析】由条件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，即，120，二面角的大小为60，故选C.5.在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面AB

3、CD所成的二面角的余弦值为()A B.C. D.【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,1)，(1,1，)设平面A1DE的法向量n1(x，y，z)，则解得令z1，n1(1，1)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.6一间民房的屋顶有如图所示三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为P1，P2，P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则()AP3P2P1 BP3P2P1CP3P2P1 DP3P2P1【答案】D【解析】斜面的投影面积相等，且cos，P1P2P3，故选D.二、填空题(每小题10分，共30分)7平面的法向

4、量n1(1,0，1)，平面的法向量n2(0，1,1)，则平面与所成二面角的大小为_【答案】或【解析】设二面角大小为，则cosn1，n2，所以cos或，所以或.8四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB2MA2，则平面PMD与平面ABCD所成二面角的余弦值为_【答案】【解析】MPD在平面ABCD上的射影为ABD，易求得SABD2，SMPD，cos.9已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_【答案】【解析】方法一：(几何法)如图，延长FE交BC于P，则AP为面A

5、EF与面ABC的交线，连接AC，PBBC，CAP90.由三垂线定理，FAP90，FAC为二面角的平面角tanFAC.方法二：(向量法)建立如图所示坐标系，令边长为3，A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(0,3,2)，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，令x1，z3，y1，n(1，1,3)，令平面夹角为，cos，sin，tan.三、解答题(本题共3小题，共40分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10(13分)如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)证明：平面AM

6、D平面CDE；(2)求二面角ACDE的余弦值【解析】(1)证明：取AD的中点P，连接PE，PC，PM.由题意可得DEDC，PEPC.因为M为EC的中点，所以PMEC，DMEC，又PMDMM，所以EC平面AMD.因为EC平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(2)解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ.由题意可得CEDE，所以EQCD.因为PCPD.所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角设ABa，由题意可得EPPQ，EQa，PQa，于是在RtEPQ中，cosEQP，所以二面角ACDE的余弦值为.11(13分)(2014浙江理，20)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDE

7、BED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小【解析】(1)在平面四边形BCDE中，BC，在三角形ABC中，AB2，BC，AC.根据勾股定理逆定理ACBC.平面ABC平面BCOE，而平面ABC平面BCDEBC，ACBC，AC平面BCDE，ACDE，又ACDE，DEDC，DE平面ACD.(2)由(1)知分别以、为x轴、z轴正方向，以过C平行为y轴正向建立坐标系则B(1,1,0)，A(0,0，)，D(2,0,0)，E(2,1,0)(1,1，)，(2,0，)，(0,1,0)，设平面ABD法向量n1(x1，y1，z1)，由n1n10，解得n1(1,1

8、，)，设平面ADE法向量n2(x2，y2，z2)，则n2n20，解得：n2(1,0，)，设平面ABD与平面ADE夹角为，cos|cosn1，n2|，平面ABD与平面ADE的二面角平面角为.12(14分)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点(1)求证：A1EBD；(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD平面EBD；(3)在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1BDE的大小为45？如果存在，试确定点E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由【解析】连接AC，BD，设ACDBO，连接A1O，OE.(1)A1A底面ABCD，BDA1A.又BDAC，BD平面ACEA1.A1E平面ACEA1，A1EBD.(2)在等边三角形A1BD中，BDA1O，而BDA1E，A1O平面A1OE，A1E平面A1OE，A1OA1EA1，BD平面A1OE.于是BDOE.A1OE为二面角A1BDE的平面角在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为2a，E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EOa，A1Oa，A1E3a，满足A1E2A1O2EO2，A1OE90.即平面A1BD平面EBD.(3)在正方体ABCDA1B1C1D1中，假设棱CC1上存在点E，可以使二面角A1BDE的大小为45.由(