利用一题多解（证） 培养学生发散思维

1、利用一题多解（证） 培养学生发散思维美国心理学家吉尔福特说:“人的创造力主要依靠发散思维,它是创造思维的主要成分。”在中考数学复习中，实践充分告诉我们，学生所做的复习题不在于多，而在于精，我们要大力摆脱题海战术，寻求知识的共同点，延伸点，将其综合运用。其中寻求多种途径的解法（或证法），能促使学生思维向多层次、多方位发散，达到“举一反三”的效果，不仅能使我们掌握相应的几种解题技巧,还可以帮助我们全方位地观察问题,多角度多层次地深入理解数学知识,提高数学解题的能力,使我们的思维更灵活,解题思路更开阔,应变能力更强。本人就一道代数综合中考题，结合我班学生实际，把充分利用所学知识，积极探索发现，综合运

2、用数学思想方法，利用一题多解（证）培养学生的发散思维整理如下：（仅供参考）题目：(2013广西贺州)如图，直线与x、y轴分别交于点A、C，抛物线的图像经过A、C和B(1,0)。（1）、求抛物线的解析式。（2）、在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D点与直线AC的距离DE最大时。求出D点的坐标，并求出最大距离是多少？（1）分析：主要考查了一次函数、二次函数的图像和性质，利用直线与x、y轴的交点特征，求出A、C点的坐标，再根据抛物线经过A、C、B三点，利用待定系数法求出抛物线的解析式。(学生独立完成，且效果较好。)设抛物线的解析式为，由其图像经过A(4，0)、B(1，0)、C(0，-2)得：（2

3、）解法1： 分析：引导学生把求DE的最大值与二次函数的最值联系起来，利用辅助线DFy轴，找相似三角形AOCDEF,根据对应边成比例表示出DE的长度，从而构建二次函数，利用求二次函数最值的方法，求出。解：过D点作DFy轴，交直线AC于点F。DFy轴DFE=ACO又AOC=DEFAOCDEF由（1）得：A4、0，C0、-2，即AO=4，AC=。 所以，当点D的坐标为D(2，1)时，D点到直线AC的距离最大，且DE的最大值为。解法2：分析：通过作y轴的平行线DF，得到DFE=ACO，在不同的直角三角形中，根据相等的锐角三角函数相等，得到DE与DF的比值是一个定值，即：，从而将求DE的最大距离转化为求

4、DF的最大值。又因为，构建关于x的二次函数即：，求出，进而得到。解：过D点作DFy轴，交直线AC于点F。DF/y轴OCA=EFD在直角AOC和直角DEF中 由（1）得：A4、0，C0、-2，即AO=4，AC=。即：当DF取最大值时，D点到AC的距离DE有最大值。 所以，当点D的坐标为D(2，1)时，D点到直线AC的距离最大，且DE的最大值为。解法3:分析：连接AD、CD构建直角三角形，因为由（1）的结论是一定值，又因为DEAC，利用三角形的面积法，即把求DE的最大值问题转化为求面积的最大值。再在平面直角坐标系中表示出ADC的面积，从而得到二次函数，利用二次函数最值求出ADC面积的最大值为4，进

5、而由得到。解：连接AD，CD，设D（m，n）。A(4，0) C(0，-2)当ADC的面积最大时，D点到AC的距离DE有最大值。所以，当点D的坐标为D(2，1)时，D点到直线AC的距离最大，且DE的最大值为。解法4：分析：利用D点在AC上方的抛物线上，当DE取最大值时，过D点平行于AC的直线与抛物线只有一个交点，故而平移直线AC，联立方程组，整理得到关于x的一元二次方程有两个相等的实数解，即=0，进而得到直线AC向上平移了2个单位（DF=2）时，D点到AC的距离DE最大。又由DEFAOC得,即：，所以。解： 由直线、抛物线只有一个交点得： 即:D(2,1)过D点作DF/y轴交AC与点F，此时，直线在的基础上向上平移了2个单位，即DF=2DF/y轴DFE=ACO又AOC=DEF=90AOCDEF所以，当点D的坐标为D(2，1)时，D点到直线AC的距离最大，且DE的最大值为。总之，在我们的教学过程中，对于一道试题，要深入去观察、分析、解决与反思，寻求知识的共同点，延伸点，将其综合运用，能促使学生思维向多层次、多方位发散，提高数学解题的能力,使我们的思