模拟方法——概率的应用

1、3 模拟方法概率的应用,1、 知识回顾：我们已经学习了两种计算事件发生的概率的方法: （1）通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率.(一种近似估计,需通过大量重复试验) （2）用古典概型的公式来计算概率.(仅适用于基本事件为有限个的情况),在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种 仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑 有无限多个试验结果的情况.常常会遇到试验的所有可能 结果(即基本事件)为无穷多的情况,且这无穷多个基本事件 保持这古典概型的“等可能性”.这时用大量试验的方法很 难获得一个符合要求的概率,也不能用古典概型的方法求 解.例如一个人到单位的时间可能是8：00至

2、9：00之间的任 何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方 格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无限多 个.那怎么办呢? 请观察下列问题并思考如何确定其概率?,问题1：如图所示在边长为a的正方形内有一个不规则的阴影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？,问题2:一个人上班的时间可以是8:009:00之间的任一时刻，那么他在8:30之前到达的概率是多大呢？,问题3:已知在边长为a的正方形内有一个半径为0.5的圆.向正方形内随机地投石头，那么石头落在圆内的概率是多大呢？,带着上述的问题，我们开始学习新的内容模拟方法-概率的应用.,问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内 为黑

3、色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色,靶面直径为 122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射击假设射箭 都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射 中黄心的概率有多大？,（1）试验中的基本事件是什么？,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.,（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？,（3）符合古典概型的特点吗？,问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？,（1）试验中的基本事件是什么？,（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？,（3）符合古典概型的特点吗？,从每一个位置剪断都是一个

4、基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.,问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率.,（1）试验中的基本事件是什么？,（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？,（3）符合古典概型的特点吗？,微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.,(1)一次试验的所有可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果发生的可能性大小相等,上面三个随机试验有什么共同特点？,对于一个随机试验,如果将每个基本事件理解为从某个特定几何区域D内随机地投一点,该点落在区域D中每一个点的机会都一样;而一个随

5、机事件A的发生则理解为恰好落到区域D内的某个指定区域P中.这里的区域D可以是平面图形,线段, 立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.,将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型,1、基本事件的个数有限,且每次试验只出现其中的一个结果； 2、每一个基本事件都是等可能发生的,古典概型的本质特征：,几何概型的特点：,（1）试验的所有可能出现的结果有无限多个,（2）每个试验结果的发生是等可能的.,古典概型与几何概型之间的联系:,试验1：取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴影，随机地向矩形中撒一把芝麻（以数100粒为例），假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个

6、位置的可能性大小相等.统计落在阴影内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数，观察它们有怎样的比例关系？,分析:由于区域A的面积是正方形面积的14,因此大约有14的芝麻(25个)落在阴影部分A内,落在区域A内的芝麻数,落在正方形内的芝麻数,区域A的面积,正方形的面积,通过计算机做模拟试验,不难得出下面的结论:,一般地,在向几何区域D中随机地投一点,记事件A为“该点落在其内部一个区域d内”,则事件A发生的概率为:,P(A)=,区域d的面积(长度或体积),区域D的面积(长度或体积),注:利用这个定理可以求出不规则图形的面积、体积.,D,d,例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待

7、的时间不多于10分钟的概率.,解：设A=等待的时间不多于10分钟，事件A恰好是打开收音机的时刻位于50，60分钟时间段内，因此由几何概型的概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 “等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.,例题讲解：,【变式训练1】如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？,变式训练2：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率,C,解：在AB上截取ACAC，,故AMAC的概率等于 AMAC的概率,记事件A为“AM小于AC”，,答：

8、AMAC的概率为,1与面积有关的几何概型问题有两种：一是与几何图形有关；二是一些实际问题(如会面型)可转化为面积问题，解决这两类问题的关键是对事件A构成区域形状及面积的计算，数形结合，直观明了,例题2： 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时段中随机地到达，试求这两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率,【变式训练】 已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，y) 求当x，yR时，P满足(x2)2(y2)24的概率；,例题3 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.,分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随机的，

9、取得0.1升水可作为事件的区域.,解： “取出的0.1升水中含有这个细菌”这一事件记为A,则,变式训练：1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？,1计算几何概型的基本思路 (1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解 (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算,答案：B,答案：A,1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比例，而与事件的位置及形状无关； 2.几何概型的两个特点: 基本事件是无限的; 基本