高中数学恒成立问题的一般解法

1、高中数学恒成立问题的一般解法高三数学复习中，我们经常会遇到恒成立问题，恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质、图象，渗透着换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的分析问题、解决问题的能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在分析题目过程中，特别要注意与能成立问题的区别，以防导致解题错误。常见恒成立问题大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。当然，这几种类型在方法的运用上面都有异曲同工之

2、处，一般主要用变量分离，数形结合，函数最值，根的分布的思想方法进行处理即可解决问题。一、 一次函数型（注意改换主元的方法运用）例1、 对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数，即改换主元。可将p视作自变量，则上述问题可转化为在-2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.评析：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若

3、y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）及它的单调性可得）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)0，则有nmoxynmoxy二、 二次函数型（函数与方程的思想，根的分布）例2、 设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+)时恒大于0的问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a-8. 解法2（利用根的

4、分布知识）：即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）2-16=0,a=0或a=-8.a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=-20,符合题意。a=-8.4oxy 20. 0,即a0时，f(0)=40,故只需对称轴，即a-4.a-8综合可得a-8.解法3（分离变量）即求出，转化为函数值域问题求解。利用函数单调性或重要不等式求的最值。 评析：若二次函数y=ax2+bx+c(a0)的定义为R大于0恒成立，则有；若是二次函数对应方程有两正根、两负根、一正根一负根一般只需考虑根的判别式与韦达定理即可；若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以

5、用根的分布知识求解。当然，一般情况下主要从五个方面进行考虑：（1）二次项系数的符号，（2）根的判别式，（3）韦达定理即根与系数的关系，（4）对称轴与区间的关系，（5）区间端点所对应的函数值的符号。三、 变量分离型（函数最值）例4、 已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a2注：若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x5-4sinx即a+1-2sin2x0,( t-

6、1,1)恒成立。设f(t)= 2t2-4t+4-a则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在-1，1内单调递减。只需f(1)0,即a2.变式：若方程a+1-2sin2x=5-4sinx有解，求a的范围。简解：将方程变为a=5-4sinx-1+2sin2x，转化为求函数值域问题求解。令sinx=t,则t-1,1,及求f(t)= 2t2-4t+4的值域。评析：若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。四、 根据函数的奇偶性、周期性等性质（方程问题求解）例5、 若f(x

7、)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。解：由题得：f(-x)=f(x)对一切xR恒成立，sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)2sinxcos=-2sinxsinsinx(sin+cos)=0对一切xR恒成立，只需也必须sin+cos=0。=k.（kZ)评析：若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,都有f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,都有f(x)

8、=f(x+T)恒成立。五、 直接根据图象判断（数形结合的思想）例6、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga21,a1,10,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象

9、在x轴上方恒有唯一交点即可。xyl1l2l-20o解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160, 所以a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=a的范围为，）。或解：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-30,及x2+20x-8x+3-6a=0在x

10、0或x-20有一解进行处理。利用根的分布化成二次函数型求解。当然一定要注意有解与有几个解的不同点和相同点。如例4的变式同此题的联系与区别。评析：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 总之，恒成立问题在教学过程中我们经常会遇到，在具体应用过程中，一定要注意方法的灵活使用，才能起到意想不到的效果。“问渠哪得清如水，为有源头活水来”，平时的积累与总结给我们的解题提供了最有效的保证，尤其在高三的学习中更值得大家关注。【转载】一句鼓励的话 第一次参加家长会，幼儿园的老师说：“ 你的儿子

11、有多动症,在板凳上连三分钟都座不了，你最好带他去医院看一看。”回家的路上，儿子问她老师都说了些什么，她鼻子一酸，差点流下泪来。因为全班 30 位小朋友，惟有他表现最差；惟有对他，老师表现出不屑。然而她还是告诉她的儿子： “老师表扬你了，说宝宝原来在板凳上坐不了一分钟，现在能坐三分钟了。其他的妈妈都非常羡慕妈妈，因为全班只有宝宝进步了。”那天晚上，她儿子破天荒吃了两碗米饭，并且没让她喂。儿子上小学了。家长会上，老师说：“全班 50 名同学，这次数学考试，你儿子排第 40 名，我们怀疑他智力上有些障碍，您最好能带他去医院查一查。”回去的路上，她流下了泪。然而，当她回到家里，却对坐在桌前的儿子说：

12、“老师对你充满信心。他说了，你并不是个笨孩子，只要能细心些，会超过你的同桌，这次你的同桌排在 21 名。”说这话时，她发现，儿子黯淡的眼神一下子充满了光，沮丧的脸一下子舒展开来。她什至发现，儿子温顺得让她吃惊，好像长大了许多。第二天上学时，去得比平时都要早。孩子上了初中，又一次家长会。她坐在儿子的座位上，等着老师点她儿子的名字，因为每次家长会，她儿子的名字在差生的行列中总是被点到。然而，这次却出乎她的预料，直到结束，都没听到。她有些不习惯。临别，去问老师，老师告诉她：“按你儿子现在的成绩，考重点高中有点危险。”她怀着惊喜的心情走出校门，此时她发现儿子在等她。路上她扶着儿子的肩，心里有一种说不出的甜蜜，她告诉儿子：“班主任对你非常满意，他说了，只要你努力，很有希望考上重点高中。”高中毕业了。第一批大学录取通知书下