数列通项公式的求法总结结版

1、高考数学数列通项公式的求法方法总结一、 公式法公式法：已知=f(n)求，用公式：求解注意：（1）首项通常要单独计算或检验（2）可由已知=f(n)中将所有n替换为n-1得到Sn-1 =f(n-1)例1已知数列的前项和，分别求其通项公式. 解析：当，由可得（用n-1替换所有n）.当。又不适合上式，故 例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式解：由 当时，有，两式相减得 例3：正项数列an的前n项和为Sn，若2=an+1(nN*)，求通项公式an.解析：根据题设2=an+1得4Sn=an2+2an+1，当n2时，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相减，得4an=an2-an-12+2(a

2、n-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，得(an+an-1) （an-an-1-2）=0。由an0知an-an-1=2，所以an是2为公差的等差数列，当n=1时，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.二，累加法。形如递推公式为的数列，通常用累加法解法：把原式转化为，分别令然后逐项相加法求解例3. 已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以 ， 例 4. 已知数列an满足,证明证明：由已知得：分别令，代入上式得个等式累加得= .例5、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则三、累乘法 .形如递推公式为的数列常用累乘法求解解法

3、：把原递推公式转化为，分别令，写出各式，然后逐商相乘求解。例6. 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 四、构造法1（构造新数列）形如递推式： 可以用构造法。解法：令，可得，与原式比较知， 用换元法设，则是以q为公比的等比数列，求出的通项公式，可得到通项公式。例7. 已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则, 所以.例8:数列 的通项公式；解： ， 又则是首项为2公比为2的等比数列。例9、数列a满足a=1，a=a+1（n2），求数列a的通项公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a

4、2=12=1， a2是为公比1为首项的等比数列a2=（），a=2（）练习2、已知数列满足，且，求解：设，则，是以为首项,以3为公比的等比数列五、倒数法+构造法。类型5：分式型递归数列解决办法；解决步骤：（1）两边颠倒分子分母,得到：；（2）令，构造新的数列，则当时, 为等差数列；当时,转化为类型4中问题.例9：已知求的通项公式解：取倒数：。 是等差数列，例10：已知数列的首项，。求的通项解：，又，是以为首项为公比的等比数列六、（构造法2）递推公式为（其中p，q均为常数，），（或）数列通项公式的求法解法1：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型四的构造法解法2：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用累加法解法3：设(注意两边幂指数的不同：为什么左边是n+1,右边是n）。可与原式比较知， 用换元法设，则是以p为公比的等比数列，求出的通项公式，可得到通项公式。例11. 已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用类型四（例7、例8）的解法得：,所以法2：在两边乘以得：令， 则,应用累加法的解法得 从而可求an例12：数列满足，求解： 构成了