高中数学 第二章 解析几何初步 2.1 直线与直线的方程学案 北师大版必修2

1、第1课时直线的倾斜角和斜率核心必知1直线的倾斜角(1)倾斜角的概念在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角(2)倾斜角的取值范围直线的倾斜角的取值范围是0180.当直线l和x轴平行时，倾斜角为0.2斜率的概念及斜率公式定义把一条直线的倾斜角不等于90的角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用k表示，即ktan 取值范围当0时，k0当090时，k0当90180时，k7，即0时，k0，；当m7，即0时，k7，即0时，k0，.当m7，即0时，k0，b0；选项B中，k0，b0；选项C中，k0，b0；选项D中，k0，b

2、0.答案：B1过点(4，2)，倾斜角为150的直线方程为()Ay2(x4)By(2)(x4)Cy(2)(x4)Dy2(x4)解析：选B直线斜率ktan 150tan 30，又直线过点(4，2)，直线方程为y(2)(x4)2方程yk(x1)(kR)表示()A过点(1,0)的一切直线B过点(1,0)的一切直线C过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线D过点(1,0)且除x轴外的一切直线解析：选Cyk(x1)一定过定点(1,0)点，当直线的斜率存在时都可以表示为yk(x1)3直线ykxb经过二、三、四象限，则斜率k和纵截距满足的条件为()Ak0，b0Bk0，b0Ck0，b0 Dk0，b0解析：选B由直

3、线过二、三、四象限，可画出草图如图，由图可得斜率k0，纵截距b0.4直线xy60的倾斜角是_，在y轴上的截距是_解析：直线方程可化为yx2，其斜率k，在y轴上的截距为2，由k可得其倾斜角30.答案：3025把直线y(x2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转30后，所得的直线方程为_解析：直线y(x2)的倾斜角为60，按逆时针旋转30后，直线的倾斜角为90，斜率不存在，直线方程为x2.答案：x26已知所求直线的斜率是直线yx1的斜率的，且分别满足下列条件：(1)经过点(，1)；(2)在y轴上的截距是5，分别求该直线的方程解：直线方程为yx1，k.由题知，所求直线的斜率k1.(1)直线过点(，1)，所

4、求直线方程为y1(x)，即x3y60.(2)直线在y轴上的截距为5，所求直线方程为yx5，即xy5 0.一、选择题1下列四个结论：方程k与方程y2k(x1)可表示同一直线；直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90，则其方程是xx1；直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是yy1；所有的直线都有点斜式和斜截式方程正确的结论有()A1个B2个C3个 D4个解析：选B中方程k表示的直线不能过(1,2)，而y2k(x1)表示过(1,2)点、斜率为k的直线，二者不能表示同一直线；正确；中，点斜式、斜截式不能表示平行于y轴的直线，结论错误2直线yax的图像可能是()解析：选B在B中，直线的倾斜角为

5、钝角，故斜率a0，直线在y轴上截距0，与直线和y轴正半轴有交点，符合要求3直线l过点(1，1)，(2,5)两点，点(1 005，b)在l上，则b的值为()A2 009 B2 010 C2 011 D2 012解析：选C直线斜率k2，直线的点斜式方程为y52(x2)，即y2x1，令x1 005，得b2 011.4直线l的方程为yx2，若直线l与l关于y轴对称，则直线l的方程为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2解析：选Al与l关于y轴对称，直线l过定点(0,2)，直线l也过点(0,2)直线l的斜率为，l的倾斜角为60，l的倾斜角为18060120.l的斜率为.直线l的方程为yx2.5在等腰A

6、BO中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：选D由题意，OA与OB的倾斜角互补kOA3 ，kAB3.AB的方程为y33(x1)二、填空题6若直线y2xb与坐标轴围成的三角形的面积为9，则b_.解析：令x0，得yb，令y0，得x，所求的面积S|b|b29.b6.答案：67直线l的方程为xy(m2m1)0，若l在y轴上的截距为3，则m的值为_解析：由题知3(m2m1)0，解得：m1或2.答案：1或28直线过点(1,2)且与直线2x3y90在y轴上的截距相等，则直线l的方程为_

7、解析：直线2x3y90在y轴上的截距为3，即直线l过(0,3)直线l的斜率k1.l的方程为yx3，即xy30.答案：xy30三、解答题9已知ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A45，B45，求：(1)AB所在直线的方程；(2)AC边和BC边所在直线的方程解：根据已知条件，画出示意图如图(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，所以kACtan 451，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y11(x1)，即yx.同理可知，直线BC的倾斜角等于180B135，所以kBCtan 1351，又点B(

8、5,1)，所以直线BC的方程为y11(x5)，即yx6.10求过点(2,3)且与两坐标轴的交点到原点的距离相等的直线方程解：由条件知该直线的斜率存在且不为0，由点斜式可设直线方程为y3k(x2)令x0得y32k.令y0得x2.由|32k|2|，得k1或k，或k1.故直线方程为yx5或yx或yx1.第3课时直线方程的两点式和一般式核心必知直线方程的两点式、截距式和一般式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l在两坐标轴上的截距：横截距a与纵截距b1直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点一般式二元一次方程系

9、数A，B，C的值AxByC0(A，B不同时为0)平面内任一条直线问题思考1方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)能表示过点(x1，y1)和(x2，y2)所有的直线吗？提示：在方程中，不能表示垂直于坐标轴的直线，而在(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)中因为是整式方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线2直线的一般式方程中，A，B不同时为零有哪些情况？能不能用一个代数式表达？提示：A、B不同时为零的含义有三点：A0且B0；若A0则B0；若B0则A0.以上三种情况可用统一的代数式A2B20表示讲一讲1三角形的顶点是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，求这个三角形三边所在直

10、线的方程尝试解答直线AB过A(5,0)，B(3，3)两点，由两点式得，整理得3x8y150，这就是AB所在直线的方程直线AC过A(5,0)，C(0,2)两点，由两点式得，整理得2x5y100，这就是AC所在直线的方程直线BC过B(3，3)、C(0,2)两点，斜率是k.由点斜式得y2(x0)，整理得5x3y60，这就是BC所在直线的方程已知直线上的两点坐标应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便练一练1已知直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程解：若

11、截距为零，则直线l过原点，此时l的方程为2x3y0；若截距不为零，则l的方程可设为1.l过点(3，2)，知1，即a1，直线l的方程为xy1，即为xy10.综合可知直线l的方程为2x3y0或xy10.讲一讲2设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是3；(2)l的斜率是1.尝试解答(1)由题意可得由得：m1且m3，由得：m3或m.m.(2)由题意得由得：m1且m，由得：m1或m2.m2.把直线方程的一般式AxByC0(A、B不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或

12、斜截式的形式练一练2求过点P(2，1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a3b的直线的一般式方程解：若a3b0，设所求直线的方程为1，即1.又直线过点P(2，1)，1，解得b.故所求直线方程为1，即x3y10.若a3b0，则所求直线过原点，可设方程为ykx.该直线过点P(2，1)，12k，k.故所求直线方程为yx.即x2y0.综上所述，所求直线的方程为x3y10或x2y0.讲一讲3已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围尝试解答(1)证明：法一：将直线l的方程整理为ya，l的斜率为a，且过定点A，而点A(

13、，)在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限法二：直线l的方程可化为(5x1)a(5y3)0.上式对任意的a总成立，必有即即l过定点A.以下同法一(2)直线OA的斜率为k3.要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x0时，y0，a3.即a的取值范围是3，)含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标在变形后特点如果不明显，可采用法二的解法，即将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点练一练3设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标

14、轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等，此时a2，方程为3xy0.若a2，由l在两坐标轴上的截距相等，有a2，即a11，a0，l的方程为xy20.综上可知，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2.欲使l不经过第二象限，当且仅当或a1.综上可知，a的取值范围是(，1求经过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于12的直线的方程解法一：设直线方程为y4k(x3)(k0)当x0时，y43k，当y0时，x3.3k4312，即3k211k40，解得k4或k，直线方程为y4

15、4(x3)或y4(x3)，即4xy160或x3y90，法二：设直线方程为ykxb.直线经过A(3,4)，3kb40.又在两轴上截距和等于12，b12，由，解得或直线方程为y4x16或yx3，即4xy160或x3y90.尝试用另外一种方法解题法三：设直线方程为1.直线过点A(3,4)，1，整理得a25a360，a9或a4，直线方程为1或1，即x3y90或4xy160.1直线2xy8的截距式方程为()Ay2x8 B.1C.0 D.1解析：选D方程2xy8中，令x0，得y8；令y0，得x4；即直线2xy8的纵截距为8，横截距为4，由截距式得方程为1.2如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不通过

16、()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C因为AC0，BC0，所以AB0，显然B0.将一般式AxByC0化为斜截式yx，所以k0，b0.所以直线不通过第三象限3直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，那么b()A2 B4C2 D2解析：选C令x0，得y；令y0，得xb，S|b|1，b24，b2.4已知直线方程5x4y200，则此直线在x轴上截距为_，在y轴上截距为_解析：将方程5x4y200化为截距式为1，在x轴，y轴上的截距分别为4,5.答案：455已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为_解析：由题意知直线l的斜率为k，直线方程

17、为y2(x0)，即2x3y60.答案：2x3y606直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的一般式方程解：设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则由已知可得当ab时，可化为解得或(舍去)；当ab时，可化为解得或(舍去)所以，直线l的截距式方程为y1或x1，化为一般式方程为x4y40或4xy40.一、选择题1直线1与x、y轴所围成的三角形的周长等于()A6B12C24 D60解析：选B直线在x轴、y轴上的截距分别为3、4，直线所围成的三角形是直角边长分别为3和4的直角三角形，其斜边长为5，故周长为34512.2直线l：AxByC0过原点和第二、四象限，则

18、()AC0，B0 BC0，A0，B0CC0，AB0 DC0，AB0解析：选C直线l过原点和第二、四象限，其截距为零，斜率为负，由AxByC0可变形为yx，0，0，即C0，AB0.3两条直线l1：ykxb，l2：ybxk(k0，b0，kb)的图像是下图中的()解析：选C由k0，b0可知，直线l1和l2的倾斜角都是锐角，且在y轴上的截距为正，所以A，B，D错误4若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则实数m满足()Am1 BmCm0 Dm1且m且m0解析：选A由得m1，依题意只要x、y的系数不同时为0，即m1该方程就表示一条直线5经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对

19、值相等的直线方程有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选C当直线过原点时，两坐标轴上截距均为0，满足条件，方程为y2x.当直线不过原点时，截距的绝对值相等，则斜率k1，直线方程为y2(x1)，即xy30和xy10，所以满足条件的直线共3条二、填空题6若3x12y15,3x22y25(x1x2)，则过A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的方程为_解析：由3x12y15，知点A(x1，y1)满足方程3x2y5，即点A在直线3x2y5上，同理点B也在直线3x2y5上，又过点A，B的直线有且只有一条，所以直线l的方程为3x2y5，即3x2y50.答案：3x2y507直线(m3)x2ym20过第一

20、、二、四象限，则m的取值范围是_解析：将方程变为yx，直线过一、二、四象限0且0，即2m3.答案：(2,3)8直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角是45，则m的值为_解析：由2m25m2m24，m2或3.而m2时，2m25m2m24同时为零，不合题意，应舍去，m3.答案：3三、解答题9已知直线l1为1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l1的纵截距相等的直线l的方程解：l1的方程可化为1，直线l1的纵截距为.设直线l的方程为1，即1.并且直线l过点(1,2)，所以1，解得a.因此直线l的方程为1，即7x2y30.10直线过点P且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，是

21、否存在这样的直线满足下列条件：AOB的周长为12；AOB的面积为6.若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由解：假设存在这样的直线，设直线方程为1(a0，b0)由AOB的周长为12，知ab12.又过点P1.由AOB的面积为6知ab12.由解得a4，b3.则所求直线的方程为1.即3x4y120.第4课时两条直线的位置关系核心必知1两直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别是k1，k2，有l1l2k1k2.(2)如果l1，l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与x轴垂直，故l1l2.2两直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l1，l2的斜率都存在，并且分别为k

22、1，k2，那么l1l2k1k21.(2)如果两直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一个是零，那么l1与l2的位置关系是l1l2.问题思考1l1l2k1k2成立的前提条件是什么？提示：(1)两条直线的斜率存在，分别为k1，k2；(2)l1与l2不重合2若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定只有在两条直线的斜率都存在时，斜率相等若两条直线都垂直于x轴，它们平行，但斜率不存在3若两条直线垂直，它们斜率之积一定为1吗？提示：不一定两条直线垂直，只有在斜率都存在时，斜率之积才为1.若其中一条直线斜率为0，而另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积不是1.讲一讲1根据下列给定的条件，判断直线l1

23、与直线l2是否平行或垂直(1)直线l1经过点A(2,1)，B(3,5)，直线l2经过C(3，2)，D(8，7)；(2)直线l1平行于y轴，直线l2经过P(0，2)，Q(0，5)；(3)直线l1经过E(0,1)，F(2，1)，直线l2经过G(3，4)，H(2,3)；(4)直线l1：5x3y6，直线l2：3x5y5；(5)直线l1：x3，直线l2：y1.尝试解答(1)直线l1的斜率k1，直线l2的斜率k21，显然k1k2，直线l1与l2不平行；k1k11，l1与l2不垂直(2)直线l2的斜率不存在，就是y轴，所以直线l1与l2平行；(3)直线l1的斜率k11，直线l2的斜率k21，所以k1k2，而

24、kGE1，所以E，F，G，H四点共线，直线l1与l2重合(4)k1，k2，k1k21，l1l2.(5)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，l1l2. (1)判断两直线的平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看直线上任意两点的横坐标是否相等若两点的横坐标相等，则直线与x轴垂直，可根据平面几何知识直接证明(2)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合(3)判定两直线的垂直，可借助直线的斜率关系即k1k21来解决，使几何问题代数化在利用斜率关系时，注意斜率为0和不存在的特殊情况练一练1判断下列直线的位置关系(1)已知两条直线l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)已知两

25、条直线l1：3x6y140，l2：2xy20.解：(1)直线l1化为斜截式为yx，直线l2化为斜截式为yx，由此可知l1的斜率为k1，在y轴上的截距为b1，l2的斜率为k2，在y轴上的截距为b2.因为k1k2，b1b2，所以l1l2.(2)由直线l1的方程，知l1的斜率为k1；由直线l2的方程，知l2的斜率为k22.显然，k1k2(2)1，所以l1l2.讲一讲2已知直线l1：(m2)x(m23m)y40，l2：2x4(m3)y10，如果l1l2，求m的值尝试解答(1)当m0时，l1：x20，l2：2x12y10，显然l1与l2不平行(2)当m3时，l1：5x40，l2：2x10，l1与l2的斜

26、率均不存在，l1l2.(3)当m0且m3时，l1：yx，l2：yx.l1l2，.解得m4，此时l1：yx，l2：yx，l1与l2平行但不重合综上所述：m3或m4.在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能明确两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论练一练2已知直线：l1：axy2a0与l2：(2a1)xaya0互相垂直，求a的值解：(1)当a0时，l1的斜率k1a，l2的斜率k2.l1l2，a()1，即a1.(2)当a0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两直线垂直综上所述，a0或a1为

27、所求讲一讲3已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程尝试解答(1)法一：利用直线方程的点斜式求解由l：3x4y200，得kl.设过点A且平行于l的直线为l1，则kl1kl，所以l1的方程为y2(x2)，即3x4y140.法二：利用直线系方程求解设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x4ym0.由点A(2,2)在直线l1上，得3242m0，解得m14.故直线l1的方程为3x4y140.(2)法一：设过点A与l垂直的直线为l2.因为klkl21，所以kl2，故直线l2的方程为y2(x2)，即4x3y20.法二：设l2

28、的方程为4x3ym0.因为l2经过点A(2,2)，所以4232m0，解得m2.故l2的方程为4x3y20.1求经过点A(x0，y0)与直线l：AxByC0平行或垂直的直线方程，当l的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程2常见直线方程设法(1)所有与AxByC10平行的直线，均可表示为AxByC20(C1C2)的形式；(2)所有与AxByC10垂直的直线，均可表示为BxAyC20的形式练一练3已知直线l的方程为3x2y120，求直线l的方程，l满足(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直

29、解：(1)由l与l平行，可设l方程为3x2ym0.将点(1,3)代入上式，得m9.所求直线方程为3x2y90.(2)由l与l垂直，可设其方程为2x3yn0.将(1,3)代入上式，得n7.所求直线方程为2x3y70.已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值错解由斜率公式kAB，kCD.ABCD，kABkCD1，即1，解得m1，m的值为1.错因两直线垂直k1k21的前提条件是k1、k2均存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论正解A、B两点纵坐标不等，AB与x轴不平行ABCD，CD与x轴不垂直，m3，m3.当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1.而m1时C、D纵坐标均为1，CDx轴，此时ABCD，满足题意当AB与x轴不垂直时，由斜率公式kAB，kCD.ABCD，kABkCD1，即1，解得m1，综上m的值为1或1.1已知A(0，4)，B(5，4)，则直线AB与直线x0的位置关系是()A平行 B垂直C重合 D非以上情况解析：