等差、等比数列的概念与性质ppt课件

1、等差、等比数列的概念与性质,【主干知识】 1.必记公式 (1)等差数列通项公式:an=_. (2)等差数列前n项和公式:Sn=_=_. (3)等比数列通项公式:_.,a1+(n-1)d,an=a1qn-1,(4)等比数列前n项和公式: Sn=_ (5)等差中项公式:_. (6)等比中项公式:_. (7)数列an的前n项和与通项an之间的关系:an=_,2an=an-1+an+1(nN*,n2),2.重要性质 (1)通项公式的推广:等差数列中,an=am+_;等比数列 中,an=_. (2)增减性:等差数列中,若公差大于零,则数列为_; 若公差小于零,则数列为_. 等比数列中,若a10且q1或a

2、10且01,则数列为_.,(n-m)d,amqn-m,递增数列,递减数列,递增数列,递减数列,3.易错提醒 (1)忽视等比数列的条件: 判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件. (2)漏掉等比中项: 正数a,b的等比中项是 ,容易漏掉- . (3)忽略对等比数列的公比的讨论: 应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公比q是否等于1.,【考题回顾】 1.(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和, S8=4a3,a7=-2,则a9=() A.-6B.-4C.-2D.2 【解析】选A.由S8=4a38a1+ d=4(a1+2d);由a7=-2 a1+6d=-2,联立解得a1=10,

3、d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.,2.（2014天津高考）设an是首项为a1，公差为1的等 差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则 a1=（ ） A.2 B.-2 C. D.- 【解析】选D.因为S1，S2，S4成等比数列，所以 =S1S4， 即(a1+a11)2=a1(4a1 43)，解得a1= .,3.(2013江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等 于() A.-24 B.0C.12 D.24 【解析】选A.因为等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,所以(3x+3)2=x(6x+6), 即x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3.

4、 当x=-1时,3x+3=0不合题意,舍去.故x=-3. 此时等比数列的前三项为-3,-6,-12.所以等比数列的首项为-3,公比为2,所以等比数列的第四项为-324-1=-24.,4.(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=() A.3 B.4 C.5 D.6,【解析】选C.由已知得, am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 因为数列an为等差数列, 所以d=am+1-am=1,又因为Sm= =0, 所以m(a1+2)=0,因为m0,所以a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,热点考向一 等

5、差(比)数列的基本运算 【考情快报】,【典题1】(1)(2014重庆高考)在等差数列an中,a1=2, a3+a5=10,则a7=() A.5B.8C.10D.14 (2)(2014江苏高考)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.,【信息联想】(1)看到等差数列的项a3,a5,想到_ _. (2)看到等比数列的项a2,a4,a6,a8,想到_.,等差数列的,通项公式,等比数列的通项公式,【规范解答】(1)选B.设等差数列an的公差为d,因为a1=2, 所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10, 解得d=1, 所以a7=a1+6d=2+6=8.

6、(2)设等比数列an的公比为q,因为a2=1, 由a8=a6+2a4,得q6=q4+2q2, 即q4-q2-2=0,解得q2=2, 所以a6=a2q4=4. 答案:4,【互动探究】在本例(2)的条件下,求a2+a4+a6+a2n(nN*). 【解析】由已知得a2,a4,a6,a2n,构成以a2=1为首项,q2=2 为公比的等比数列,所以其前n项和 Sn= =2n-1.,【规律方法】等差(比)数列基本运算的关注点 (1)基本量:在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素. (2)解题思路:设基本量a1和公差d(公比q); 列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)的方程

7、(组),然后求解,注意整体计算,以减少计算量.,【变式训练】1.(2014江西高考)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为. 【解题提示】转化为a80,a90且a90且7+8d0, 解得-1d- . 答案:,2.(2014湖北高考)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,【解析】(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)

8、2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0, 解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2, 从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,(2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn= =2n2. 令2n260n+800,即n2-30n-4000, 解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n. 当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.,【加固训练】1.(2014温州模拟)已知等比数列an的各项均为正数,对kN*,akak+5=a,a

9、k+10ak+15=b,则ak+15ak+20=(),【解析】选B.设公比为q,因为akak+5=a,ak+10ak+15=akq10ak+5 q10=aq20=b,所以q10= ,所以ak+15ak+20=akq15ak+5 q15=aq30=,2.(2013大纲版全国卷)等差数列an中，a7=4,a19=2a9, (1)求an的通项公式. (2)设bn= 求数列bn的前n项和Sn.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d， 则an=a1+(n1)d. 因为 所以 解得a1=1,d= . 所以an的通项公式为 (2)因为 所以,热点考向二 等差(比)数列的判定与证明 【考情快报】,【典题2】

10、(2014郑州模拟)已知数列an的前n项和为Sn, 且满足an+2SnSn-1=0(n2,nN*),a1= . (1)求证: 是等差数列. (2)求数列an的通项公式. (3)若bn=2(1-n)an(n2,nN*),求证:,【现场答案】,【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给出正确答案. 提示:以上解题过程中出错之处是第(2)小题an的通项公式求错,原因是求通项公式时忽略了对n=1的讨论,导致通项公式不完整.,【规范解答】（1）由an+2SnSn-1=0（n2，nN*）， 得Sn-Sn-1+2SnSn-1=0， 所以 =2（n2，nN*）， 故 是等差数列. （2）由（1）知

11、， =2n, 故Sn= (n2, nN*), 所以an=,【规律方法】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法 (1)定义法:对于n1的任意自然数,验证an+1-an 为同一常数. (2)通项公式法: 若an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d或an=kn+b(nN*),则an为等差数列; 若an=a1qn-1=amqn-m或an=pqkn+b(nN*),则an为等比数列.,(3)中项公式法: 若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列; 若 =an-1an+1(nN*,n2),则an为等比数列.,【变式训练】 1.(2014重庆模拟)已知等比数列（an）的公比为q,记

12、bn= am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2 am(n-1)+m,(m,n N*)则以下结论一定正确的是() A.数列bn为等差数列,公差为qm B.数列bn为等比数列,公比为q2m C.数列cn为等比数列,公比为 D.数列cn为等比数列,公比为,【解析】选C.bn=am(n-1)(q+q2+qm),当q=1时, bn=mam(n-1),bn+1=mam(n-1)+m=mam(n-1)qm=bnqm. 当q1时,bn=am(n-1) ,bn+1=am(n-1)+m =am(n-1)qm ,此时 =qm,选项B不正确, 又bn+1

13、-bn=am(n-1) (qm-1),不是常数,故选项A不正确.,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m, cn+1=amn+1amn+2amn+m,2.(2013陕西高考)设Sn表示数列an的前n项和. (1)若an是等差数列,推导Sn的计算公式. (2)若a1=1,q0,且对所有正整数n,有Sn= .判断an是否为等比数列,并证明你的结论.,【解析】(1)设公差为d,则an=a1+(n1)d, 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(an-1+a2) +(an+a1)2Sn=n(a1+an)Sn= (2)an是等比数列.证明如下： 因为 又因为a1=1,q0，所

14、以当n1时， 有 因此,数列an是首项为1,公比q0的等比数列.,【加固训练】1.已知数列an,其前n项和为Sn= n2+ n (nN*). (1)求a1,a2. (2)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列. (3)如果数列bn满足an=log2bn,试证明数列bn是等比数列,并求其前n项和Tn.,【解析】(1)a1=S1=5,a1+a2=S2= 22+ 2=13,解得a2=8. (2)当n2时,an=Sn-Sn-1 = n2-(n-1)2+ n-(n-1) = (2n-1)+ =3n+2. 又a1=5满足an=3n+2, 所以an=3n+2(nN*). 因为an-an-1=3n+2

15、-3(n-1)+2=3(n2,nN*). 所以数列an是以5为首项,3为公差的等差数列.,（3）由已知得bn= (nN*), =23=8(nN*), 又b1= =32, 所以数列bn是以32为首项，8为公比的等比数列. 所以Tn=,2.(2014沈阳模拟)已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+ (-1)n(nN*). (1)求数列an的前三项a1,a2,a3. (2)求证:数列an (1)n为等比数列,并求出an的通项公式.,【解析】(1)在Sn2an(-1)n(nN*)中分别令n1，2，3得,(2)由Sn2an(1)n(nN*)得： Sn12an1(1)n1(n2)，两式相减得： an

16、2an12(1)n(n2)，,an2an1 (1)n (1)n 2an1 (1)n1 (1)n(n2)， 所以an (1)n2an1 (1)n1(n2). 故数列an (1)n是以a1 为首项，公比为2的等比 数列. 所以an (1)n 2n1，所以an 2n1 (1)n,热点考向三 等差(比)数列的性质 【考情快报】,高频考向 多维探究,命题角度一 与等差(等比)数列的项有关的性质 【典题3】(1)(2014嘉兴模拟)等比数列an前n项的乘积为 Tn,且2a3= ,则T9=. (2)(2014北京高考)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,则当n=时,an的前n项和最大.,【

17、信息联想】(1)看到T9,想到_. (2)看到a7+a8+a9,a7+a10,想到_.,T9与a5之间的关系,等差数列的性质,【规范解答】(1)设公比为q,因为2a3= , 所以 =a4q=2, 所以T9=a1a2a9= =(a4q)9=29=512. 答案:512 (2)a7+a8+a9=3a80,a7+a10=a8+a90,a90. 所以an的前8项为正数,从第9项开始为负数, 所以n=8时,an的前n项和最大. 答案:8,命题角度二 与等差(等比)数列的和有关的性质 【典题4】(1)(2014杭州模拟)等差数列an的前n项和Sn=a1+a2+an,若S10=31,S20=122,则S30

18、=() A.153 B.182 C.242 D.273 (2)(2014东莞模拟)在等比数列an中,如果a1+a2=40, a3+a4=60,那么a7+a8等于() A.135 B.100C.95 D.80,【信息联想】(1)看到S10,S20,S30,想到_. (2)看到a1+a2,a3+a4,a7+a8,想到_.,等差数列和的性质,等比数列和的性质,【规范解答】(1)选D.根据等差数列的性质得到:S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,则S30=2(S20-S10)-S10+S20=2(122-31)-31+122=273,故选D. (2)选A.利用等比数列an的性质有S2,S4

19、-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,所以S2=40,S4-S2=a3+a4=60, 则S6-S4=90,S8-S6=135,故a7+a8=S8-S6=135. 故选A.,【规律方法】等差(比)数列的性质盘点,【变式训练】1.(2014成都模拟)已知等差数列an一共有12项,其中奇数项之和为10,偶数项之和为22,则公差为() A.12 B.5 C.2 D.1 【解析】选C.因为等差数列an奇数项之和为10,偶数项之和为22,且共有12项, 所以公差d= =2. 故选C.,2.(2014梅州模拟)设等差数列an的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=. 【解析】因为an是等差数

20、列, 所以S9=9a5,a5=8, 所以a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24. 答案:24,【加固训练】(2014衡水模拟)等差数列an中,3(a3+a5) +2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项的和是() A.13 B.26 C.52 D.156 【解析】选B.因为3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24, 所以6a4+6a10=24,所以a4+a10=4, 所以,【备选考向】等差(比)数列的实际应用 【典题】(2014黄冈模拟)某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污.

21、现以降低SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨,已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨.,(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨? (2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度.在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p,为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内,求p的取值范围. (参考数据: 0.9505, 0.9559),【解析】(1)设“十二五”期间,该城市共排放SO2约y万吨,依 题意,2011年至2015年S

22、O2的年排放量构成首项为9.3,公差为 -0.3的等差数列, 所以y=59.3+ (-0.3)=43.5(万吨). 所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨.,(2)由已知得,2012年SO2的年排放量为9.3-0.3=9(万吨), 所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9,公比为1-p的等比数列. 由题意得9(1-p)84.95%. 所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为4.95%p1.,【规律方法】等差(比)数列实际应用问题的常见模型 (1)等差数列模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的量时,该模型是等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差.

23、(2)等比数列模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的常数,该模型是等比数列模型(如递增率或递减率),固定的数就是公比.,(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固 定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an+1的递推关系,还是Sn 与Sn+1之间的递推关系. (4)分期付款模型:设贷款总额为a,年利率为r,等额还款数为b, 分n期还完,则b= a.,【加固训练】(2014湖南师大附中模拟)某企业为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用(称为设备的低劣化值)会逐年增加,第一年设备低劣化值是4万元,从第二年到第

24、七年,每年设备低劣化值均比上年增加2万元,从第八年开始,每年设备低劣化值比上年增加25%. (1)设第n年该生产线设备低劣化值为an,求an的表达式. (2)若该生产线前n年设备低劣化平均值为An,当An达到或超过12万元时,则当年需要更新生产线,试判断第几年需要更新该生产线,并说明理由.,【解析】(1)当n7时,数列an是首项为4,公差为2的等差数 列,所以an=4+2(n-1)=2n+2. 当n8时,数列an是首项为a7,公比为 的等比数列,又a7= 16,所以an=16 , 所以an=,（2）设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1n7时，Sn=4n+n(n-1)=n2+3n, 当n8时，由S7=70,得 该生产线前n年设备低劣化平均值为,当1n7时，数列An为单调递增数列； 当n8时，因为 所以An为单调递增数列. 则第九年需要更新该生产线.,函数与方程思想 解决数列中的求值问题 【思想诠释】 等差、等比数列问题中应用函数与方程思想的常见类型: 1.求基本量:求等差或等比数列中的某些量