1983年全国统一高考数学试卷(文科)

1、1983年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1（2分）在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（）A关于坐标轴、原点都不对称B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称2（2分）抛物线x2+y=0的焦点位于（）Ay轴的负半轴上By轴的正半轴上Cx轴的负半轴上Dx轴的正半轴上3（2分）两条异面直线，指的是（）A在空间内不相交的两条直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D不在同一平面内的两条直线4（2分）对任何的值等于（）ABCD5（2分）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（）A0.3220.3l

2、og20.3B0.32log20.320.3Clog20.30.3220.3Dlog20.320.30.32二、解答题（共9小题，满分110分）6（10分）在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形7（6分）求函数的定义域8（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法9（12分）已知复数10（12分）在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积11（14分）如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB

3、=20米，在A点处测得P点的仰角OAP=30，在B点处测得P点的仰角OBP=45，又测得AOB=60，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）12（16分）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面内，ABC=60，ACB=30，BC=24cm，A点在平面内的射影为N，AN=9cm，求以A为顶点的三棱锥ANBC的体积（结果可以保留根号）13（17分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列14（17分）如图，已知两条直线L1：2x3y+2=0，L2：3x2y+3=0有一动圆（圆心和半径都

4、在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称1983年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1（2分）在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（）A关于坐标轴、原点都不对称B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称考点：函数奇偶性的性质 分析：根据f（x）=|x|=|x|=f（x）可得f（x）=|x|为偶函数，所以函数y=|x|的图象关于y轴对称解答：解：f（x）=|x|=|x|=f（x），则f（x）=|x|为偶函数，y=|x|的图象关于y轴对称故选D点评：本题主

5、要考查偶函数的图象问题，即图象关于y轴对称2（2分）抛物线x2+y=0的焦点位于（）Ay轴的负半轴上By轴的正半轴上Cx轴的负半轴上Dx轴的正半轴上考点：抛物线的标准方程 专题：计算题分析：先化为抛物线的标准方程，根据抛物线的基本性质可得到答案解答：解：由x2+y=0可得x2=y，故焦点位于y轴的负半轴上故选A点评：本题主要考查抛物线的标准方程只要将问题转化为标准方程就可迎刃而解3（2分）两条异面直线，指的是（）A在空间内不相交的两条直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D不在同一平面内的两条直线考点：异面直线的判定 专题：综合题分析：直接由异面直线

6、的定义，判断选项的正误即可解答：解：A两条直线可能平行，所以不正确B分别位于两个不同平面内的两条直线，可能还在另一个平面，不正确C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能在同一个平面，不正确D是异面直线的定义，正确点评：本题考查异面直线的定义，是基础题4（2分）对任何的值等于（）ABCD考点：半角的三角函数 专题：计算题；压轴题分析：先根据余弦的半角公式求得cos的值，再根据的取值范围判断正负解答：解：cos=2cos21cos=180360cos0cos=故选C点评：本题主要考查了余弦函数的半角公式属基础题5（2分）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（）A0.3

7、220.3log20.3B0.32log20.320.3Clog20.30.3220.3Dlog20.320.30.32考点：不等式比较大小 专题：压轴题分析：确定0.32，log20.3，20.3这些数值与0、1的大小即可解答：解：00.321，log20.30，20.310.3220.3log20.3故选C点评：本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较二、解答题（共9小题，满分110分）6（10分）在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形考点：曲线与方程 专题：数形结合分析：将方程变形，分析方程所代表曲线的类型解答：解：x2+y2=2

8、x，即：（x1）2+y2=1，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，x2y2=0，即：（x+y）（xy）=0，即：x+y=0或xy=0，表示2条直线点评：将方程化简变形，确定曲线形状7（6分）求函数的定义域考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法 专题：计算题分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解解答：解：根据题意，得解得5x6函数的定义域是5，6）点评：本题主要考查自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时

9、，被开方数非负8（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题；分类讨论分析：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，分别用组合数表示出三种情况的结果数，根据分类计数原理得到结果解答：解：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，当有一女两男时共有C41C62当有两女一男时共有C42C61当有三女时共有C43根据分类计数原理得到结果是C41C62+C42C61+C4

10、3=100（种）点评：本题是一个分类加法，在题目中要分为三类，表示时比较麻烦，本题可以这样解：C103C63=12020=100（种）9（12分）已知复数考点：复数的基本概念；三角函数恒等式的证明 专题：证明题分析：直接把复数z代入要证明等式左边，按复数乘方运算，化简即可解答：证明：=cos3+isin3+cos（3）+isin（3）=2cos3点评：本题考查复数的基本概念，三角函数恒等式的证明，考查计算能力，是基础题10（12分）在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积考点：在实际问题中建立三角函数模型；函数的最值及其几

11、何意义 专题：应用题分析：如图用圆的半径R与图中所示的角（可设出）表示出来，把此矩形的面积表示出来，再用三角函数的相关的公式化简，最后用三角函数的有界性判断最大值在什么情况下取到，求出矩形的最大面积以及矩形的长与宽的大小解答：解：设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，角如图所示，则x=Rcos，另一边的长为Rsin，矩形面积S为S=2R2sincos=R2sin2当2=即=时，也即长为，宽为时，矩形面积最大最大面积是R2点评：本题考查用三角函数解决实际问题的最值，这是三角函数的一个重要的运用，请仔细体会本题中函数关系的建立过程11（14分）如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上

12、选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角OAP=30，在B点处测得P点的仰角OBP=45，又测得AOB=60，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）考点：解三角形的实际应用 专题：计算题；应用题分析：分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在AOB中，由余弦定理求得旗杆的高度解答：解：在直角AOP中，得OA=OPcot30在直角BOP中，得OB=OPcot45=h在AOB中，由余弦定理得，答：旗杆的高度h为点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力12（16分）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面内，ABC=60，AC

13、B=30，BC=24cm，A点在平面内的射影为N，AN=9cm，求以A为顶点的三棱锥ANBC的体积（结果可以保留根号）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题分析：过N作NEBC，E为垂足，连接AE，求出AE，NE，求出底面NBC面积，然后求出体积即可解答：解：过N作NEBC，E为垂足，连接AE，由三垂线定理可知AEBC在直角三角形ABC中，在直角三角形ANE中，三棱锥ANBC的体积答：三棱锥ANBC的体积为：108cm2点评：本题考查线线关系证明垂直关系，从而说明锥体的高，求出底面面积是解好本题的一个环节，考查计算能力，是基础题13（17分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得

14、的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列考点：等差数列的性质；等比数列的性质 专题：计算题；压轴题分析：设所求等比数列为a，aq，aq2，由已知条件得，由此能够求出原来的等比数列解答：解：设所求等比数列为a，aq，aq2，由已知条件得化简得：解方程组得或由a=2，q=3，得所求等比数列是2，6，18；由，得所求等比数列是经检验均正确点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答14（17分）如图，已知两条直线L1：2x3y+2=0，L2：3x2y+3=0有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称考点：轨迹方程；双曲线的定义 专题：计算题；压轴题分析：设圆心M的坐标为（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的