1991年全国统一高考数学试卷(文科)

1、1991年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1（3分）已知sin=，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）ABCD2（3分）2、焦点在（1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）Ay2=8（x+1）By2=8（x+1）Cy2=8（x1）Dy2=8（x1）3（3分）（2012北京模拟）函数y=cos4xsin4x的最小正周期是（）ABC2D44（3分）（2012北京模拟）P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（）A（5，2）B（2，5）C（5，2）D（2，5）5（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异

2、面直线共有（）A12对B24对C36对D48对6（3分）（2012广东模拟）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=7（3分）6、如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的（）A垂心B重心C外心D内心8（3分）已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A5B10C15D209（3分）9、已知函数y=（xR，且x1），那么它的反函数为（）Ay=（xR，且x1）By=（xR，且x6）Cy=（xR，且x）Dy=（xR，且x5）10（3

3、分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A140种B84种C70种D35种11（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件12（3分）n（1）（1）（1）（1）等于（）A0B1C2D313（3分）如果AC0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限14（3分）如果奇函数f（x）在区间3，7上是增函数

4、且最小值为5，那么f（x）在区间7，3上是（）A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为515（3分）圆x2+2x+y2+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16（3分）双曲线以直线x=1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是_17（3分）已知sinx=，则sin2（x）=_18（3分）不等式lg（x2+2x+2）1的解集是 _19（3分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项若实数a1，那么a=_20（3分）在

5、长方体ABCDA1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、2如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是、，那么cos2+cos2+cos2=_三、解答题（共6小题，满分60分）21（8分）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值22（8分）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值23（10分）如图，在三棱台A1B1C1ABC中，已知A1A底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1BBC，且B1B和底面ABC所成的角45，求这个棱台的体积24（10分）设an是等差数列，bn=（）an已知b1+b2+b3=，b1b2b3=求等差数列的通项an25（12分）

6、设a0，a1，解关于x的不等式26（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=求椭圆的方程1991年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1（3分）已知sin=，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）ABCD考点：同角三角函数基本关系的运用 分析：由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值解答：解：sin=且是第二象限的角，故选A点评：掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明本题是给值求值2

7、（3分）2、焦点在（1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）Ay2=8（x+1）By2=8（x+1）Cy2=8（x1）Dy2=8（x1）考点：抛物线的标准方程 专题：分析法分析：先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案解答：解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B又因为开口方向是向x轴的负半轴，排除C故选D点评：本题主要考查抛物线的标准方程属基础题3（3分）（2012北京模拟）函数y=cos4xsin4x的最小正周期是（）ABC2D4考点：同角三角函数基本关系的运用 分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等

8、性质的形式，即y=Asin（x+）的形式解答：解：y=cos4xsin4x=cos2xsin2x=cos2x，T=，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法4（3分）（2012北京模拟）P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（）A（5，2）B（2，5）C（5，2）D（2，5）考点：对称图形 专题：计算题分析：点关于直线对称，首先要看直线方程，根据直线方程求出x，再求出y，代值计算即可解答：解：x+y=0y=xx=y所以对称点是（5，2）故选C点评：对称问题是数形结合思想的应用，学生对点及直线的

9、对称要和图形结合理解更好5（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A12对B24对C36对D48对考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征 分析：由异面直线定义入手，分类计数即可解答：解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有64=24对故选B点评：本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力6（3分）（2012广东模拟）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=

10、考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 分析：根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可解答：解：因为当x=时，sin2（）+=sin（）=1故选A点评：本题主要考查正弦函数的对称性，即正余弦函数一定在对称轴上取得最值7（3分）6、如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的（）A垂心B重心C外心D内心考点：棱锥的结构特征 专题：证明题；综合题分析：顶点在底面上的射影，以及二面角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三边距离相等，可得结果解答：解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底

11、面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心故选D点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题8（3分）已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A5B10C15D20考点：等比数列 分析：先由等比数列的性质求出a2a4=a32，a4a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解解答：解：由等比数列的性质得：a2a4=a32，a4a6=a52a2a4+2a3a5+a4a6=25

12、可化为（a3+a5）2=25又an0a3+a5=5故选A点评：本题主要考查等比数列性质和解方程9（3分）9、已知函数y=（xR，且x1），那么它的反函数为（）Ay=（xR，且x1）By=（xR，且x6）Cy=（xR，且x）Dy=（xR，且x5）考点：反函数 分析：欲求原函数y=的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式解答：解：y=，x=（yR，且y1），x，y互换，得y=（xR，且x1）故选A点评：本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系10（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型

13、与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A140种B84种C70种D35种考点：分步乘法计数原理 分析：本题既有分类计数原理也有分步计数原理解答：解：甲型1台与乙型电视机2台共有4C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C425=30；不同的取法共有70种故选C点评：注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步11（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件

14、的判断 分析：搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答解答：解：甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲乙丙并且乙不能推出丙，结合选项甲丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件故选A点评：甲乙丙并且乙不能推出丙，这种方法是解决三个以上命题好策略12（3分）n（1）（1）（1）（1）等于（）A0B1C2D3考点：极限及其运算 专题：计算题分析：通过观察n（1）（1）（1）（1），先化简括号中的式子，再根据极限的定义求极限解答：解：n（1）（1）（1）（1）=n=2故选C点评：本题主要考查极限及其运算，较为简单13（3分）如果A

15、C0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：直线的一般式方程 专题：计算题分析：先把Ax+By+C=0化为y=，再由AC0，BC0得到，数形结合即可获取答案解答：解：直线Ax+By+C=0可化为，又AC0，BC0AB0，直线过一、二、四象限，不过第三象限故答案选C点评：本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题14（3分）如果奇函数f（x）在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间7，3上是（）A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5考点：奇函数 专题：

16、压轴题分析：由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案解答：解：因为奇函数f（x）在区间3，7上是增函数，所以f（x）在区间7，3上也是增函数，且奇函数f（x）在区间3，7上有f（3）min=5，则f（x）在区间7，3上有f（3）max=f（3）=5，故选B点评：本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系15（3分）圆x2+2x+y2+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A1个B2个C3个D4个考点：直线与圆的位置关系 专题：压轴题分析：先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果解答：解：圆x2+2x+y2+4y3=0的圆心（1

17、，2），半径是 2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个故答案为：3点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16（3分）双曲线以直线x=1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是（2，2）考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：数形结合，先求出双曲线中心坐标，进而得到在y轴上的焦点坐标，中心是两个焦点的中点解答：解：双曲线以直线x=1和y=2为对称轴，双曲线中心坐标（1，2），在y轴上的焦点坐标（0，2），另一个焦点（2，2），故答

18、案是（2，2）点评：数形结合，中点考查双曲线的性质17（3分）已知sinx=，则sin2（x）=2考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数 专题：计算题分析：先利用同角三角函数基本关系可知sin2（x）=cos2x，进而利用倍角公式把sinx=代入即可解答：解：sin2（x）=cos2x=（12sin2x）=（1）=2故答案为2点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用和利用倍角公式化简求值属基础题18（3分）不等式lg（x2+2x+2）1的解集是 x|4x2考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域 专题：计算题；转化思想分析：外层函数是增函数，不等式为lg（x2+2

19、x+2）lg10，由单调性不等式可以转化为x2+2x+210，解此不等式即得不等式lg（x2+2x+2）1的解集解答：解：由题意不等式lg（x2+2x+2）1可以变为lg（x2+2x+2）lg10，y=lgx是增函数，x2+2x+210 （由于x2+2x+20恒成立，故本处省略讨论其符号） 解得4x2故不等式的解集是x|4x2故答案为x|4x2点评：本题考查求对数不等式，考查知识点是对数的单调性，指对不等式一般都是用相应函数的单调性将其转化为常规不等式求解集19（3分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项若实数a1，那么a=1+考点：基本不等式；二项式定理 专

20、题：计算题；压轴题分析：先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式分别写出x3、x2、x4的系数，再用等差中项的概念列出方程，解方程即可解答：解：Tk+1=C7K（ax）7k=C7ka7kx7k，故x3、x2、x4的系数分别为C74a3，C75a2和C73a4，由题意2C74a3=C75a2+C73a4解得：a=1+故答案为：1+点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用、二项式系数问题、等差中项的概念及组合数的运算等知识，属基本题型的考查20（3分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、2如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是、，那么cos2+cos2+co

21、s2=2考点：直线与平面所成的角 专题：计算题；压轴题；转化思想分析：跟据题意知，分别找出对角线AC1与面AB1所成的角为C1AB1=，与面AD1所成的角为C1AD1=；与面AC所成的角为C1AC=；，并且求出它们的余弦值，可求cos2+cos2+cos2的值解答：解：B1C1面AB1，AC1与面AB1所成的角为C1AB1=；同理AC1与面AD1所成的角为C1AD1=；AC1与面AC所成的角为C1AC=；AB=2，AD=，AA1=，AC1=3，AC=，AB=，AD1=，cos=，cos=，cos=，cos2+cos2+cos2=，故答案为2点评：考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的

22、射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题三、解答题（共6小题，满分60分）21（8分）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值 专题：计算题分析：先根据同角三角函数的基本关系、根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为y=Asin（wx+）+b的形式，即可得到答案解答：解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+）当sin（2x+）=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2

23、+点评：本题主要考查二倍角公式和两角和与差的正弦公式属基础题22（8分）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：利用复数的运算法则化简复数，据复数模的公式求出复数模，判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值解答：解：=1i1i的模r=因为1i对应的点在第四象限且辐角的正切tan=1，所以辐角的主值=点评：本题考查复数的运算法则，复数的模及辐角主值的求法23（10分）如图，在三棱台A1B1C1ABC中，已知A1A底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1BBC，且B1B和底面ABC所成的角45，求这个棱台的体积考点：直

24、线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题分析：利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BCAB，ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，求出AB、BC，再利用棱台的体积公式求出体积即可解答：解：因为A1A底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1ABC又BCBB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BCABABC是直角三角形，ABC=90并且ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，ABB1=45作B1DAB交AB于D，则B1DA1A，故

25、B1D底面ABCRtB1DB中DBB1=45，DB=DB1=AA1=a，AB=2a由于棱台的两个底面相似，故RtABCRtA1B1C1B1C1=A1B1=a，AB=2a，BC=2aS上=A1B1B1C1=S下=ABBC=2a2V棱台=A1A=a点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题24（10分）设an是等差数列，bn=（）an已知b1+b2+b3=，b1b2b3=求等差数列的通项an考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式 专题：方程思想分析：因为an是等差数列，所以用a1和d分别表示出b1，b2，b3，再结合题意列出关于a1、d的方

26、程，求解即可解答：解：设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）db1b3=b22由b1b2b3=，得b23=，解得b2=代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2a1=1，d=2或a1=3，d=2所以，当a1=1，d=2时an=a1+（n1）d=2n3当a1=3，d=2时an=a1+（n1）d=52n点评：本题考查了等差数列的性质和通项公式，考查了学生的运算能力和公式的灵活运用能力，难度中等25（12分）设a0，a1，解关于x的不等式考点：其他不等式的解法 专题：压轴题分析：本题为解数型不等式，结合指数函数的单调性，分0a1和a1两种情况讨论，再转化为解二次型不等式解答：解法一原不等式可写成根据指数函数性质，分为两种情形讨论：