相似三角形习题课

1、,练习课,一、复习：,1、相似三角形的定义是什么？,答：,对应角,相等，,对应边,成比例,的两个三角形叫做相似三角形.,2、判定两个三角形相似有哪些方法？,答：,A、用定义；,B、用判定定理1、2、3.,3、相似三角形有哪些性质,1、对应角相等，对应边成比例 2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。 3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。,一.填空选择题: 1.(1) ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AED= B，那么 AED ABC，从而 (2) ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED， 则 AED与 ABC的相似比为_. 2.如图，DEBC,

2、 AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC 的相似比为. 3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm. 4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_.,AC,2:5,5,2cm,1:2,5. 如图，ADE ACB, 则DE:BC=_ 。 6. 如图，D是ABC一边BC 上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBC 7. D、E分别为ABC 的AB、AC

3、上 的点，且DEBC，DCB= A， 把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_组。,1:3,D,4,二、证明题： 1. D为ABC中AB边上一点， ACD= ABC. 求证：AC2=ADAB. 2. ABC中, BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC的直线 交CA的延长线于E，交AB于D， 连AM. 求证： MAD MEA AM2=MD ME 3. 如图，ABCD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO EC.,4. 过ABCD的一个顶点A作一直 线分别交对角线BD、边BC、边 DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG . 5.

4、ABC为锐角三角形，BD、CE 为高 . 求证： ADE ABC （用两种方法证明）. 6. 已知在ABC中，BAC=90， ADBC,E是AC的中点，ED交 AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.,解:AED=B, A=A AED ABC（两角对 应相等，两三角形相似） ,1.(1) ABC中，D、E分别是AB、AC上的点， 且AED= B，那么 AED ABC， 从而,解 :D、E分别为AB、AC的中点 DEBC，且 ADEABC 即ADE与ABC的相似比为1:2,(2) ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE， 则 ADE与 ABC的相似比为_,2.,解: DE

5、BC ADEABC AD:DB=2:3 DB:AD=3:2 (DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 AD:AB=2:5 即ADE与ABC的相似比为2:5,如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED 和 ABC 的相似比为.,3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm.,解: 设三角形甲为ABC ，三角 形乙为 DEF，且DEF的最大 边为DE，最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 EF=5cm,4.,等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点

6、D, 使ABC BDC, 则DC=_.,解: ABC BDC 即 DC=2cm,5.,解: ADEACB 且 ,如图，ADE ACB, 则DE:BC=_ 。,7. D、E分别为ABC 的AB、AC上的点，DEBC， DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组， 那么图中共有相似三角形_组。,解: DEBC ADE= B, EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC,1. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC. 求证：AC2=ADAB,分析:要证

7、明AC2=ADAB，需 要先将乘积式改写为比例 式 ，再证明AC、 AD、AB所在的两个三角形相 似。由已知两个三角形有二个 角对应相等，所以两三角形相 似，本题可证。,证明: ACD= ABC A = A ABC ACD AC2=ADAB,2. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证： MAD MEA AM2=MD ME,分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是 MAD 与 MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。,证明：BAC=90

8、M为斜边BC中点 AM=BM=BC/2 B= MAD 又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADE,B=E MAD= E 又 DMA= AME MAD MEA, MAD MEA 即AM2=MDME,3. 如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO EC.,分析：欲证 ED2=EOEC，即证： ，只需证DE、EO、EC 所在的三角形相似。,证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO EC,4. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边

9、 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG .,分析：要证明 EA2 = EF EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.,证明： ADBF ABBC AED FEB AEB GED ,5. ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证： ADE ABC（用两种方法证明）.,证明一： BDAC，CEAB ABD+A=90， ACE+A= 90 ABD= ACE 又 A= A ABD ACE A= A ADE ABC,证明二： BEO= CDO BOE=

10、COD BOE COD 即 又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90， 2+ 3= 90 BCD= 3 又 A= A ADE ABC,6. 已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的 中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.,分析：因ABCABD，所以 ， 要证 即证 ， 需证BDFDAF.,证明： BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是AC的中点， ED=EC EDC= C EDC = BDF, BDF= C= BAD 又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADB

11、C ABCABD ,1.已知：如图，ABC中，P是AB边上的一点，连结CP满足什么条件时 ACPABC,解:A= A，当1= ACB （或2= B）时， ACPABC A= A，当AC:APAB:AC时， ACPABC A= A， 当4ACB180时， ACPABC,答：当1= ACB 或2= B 或AC:APAB:AC或4ACB180时, ACPABC.,1、条件探索型,三、探索题,2.如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似,这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件,

12、1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.,C,解：有相似三角形，它们是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）,2、结论探索型,2.在ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.,E,E,E,E,这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明.,3、存在探索型,如图, DE是ABC的中位线，在射线AF上是否存在点M，使MEC与ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.,证明：连结MC，DE是ABC的中位线，DEBC，AEEC，又MEAC, AMCM， 1= 2 ，B=90， 4 B= 90， AF BC，AM