高二数学立体几何(详细答案)

1、在如图7-26所示的三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA=AC=1，PC=BC，PB和平面ABC所成的角为30。（1）求证：平面PBC平面PAC；（2）求AB的中点M到直线PC的距离。如图8-32，在正三棱柱ABCA1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1。（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图7-28），将此三角形沿DE折成二面角ADEB。（1）求证：平面AGF平面BCED；（2）当二面角ADEB为多大时，异面直线AE与BD互相垂直？证明你的结论。4

2、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BAD=60，AB=4，AD=2，侧棱PB=，PD=。（1）求证：BD平面PAD；（2）若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小。17.解 （1）由已知PA平面ABC，PA=AC=1，得PAC为等腰直角三角形，PC=CB=。在RtPAB中，PBA=30，PB=2，PCB为等腰直角三角形。PA平面ABC， ACBC，又ACPC=C，PCBC，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PBC平面PAC。（2）如图，过M作MDAC，垂足为D。平面PAC平面ABC且相交于AC，MD平面PAC。过D作DEPC，垂足为E，连结ME，则DE是ME在平

3、面PBC上的射影，DEPC，MEPC，ME的长度即是M到PC的距离。在RtABC中,MDBC，MD=BC=。在等腰RtPAC中，DE=DCsin45=，在RtABC中,MDBC，MD=BC=。在等腰RtPAC中，DE=DCsin45=，ME=，即点M到PC的距离为 。18.解 （1）在截面A1EC内，过E作EGA1C，G是垂足。面A1EC面AC1，EG侧面AC1，取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BFAC。面ABC侧面AC1，BF侧面AC1，得BFEG。由BF，EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。BE侧面AC1，BEFG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG。BEAA1，FGA

4、A1。又AA1CFGC，且AF=FC，FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D。EB1CC1，EB1=BB1=CC1，DB1=DC1=B1C1=A1B1。B1A1C1=B1C1A1=60，DA1B1=A1DB1=(180-DB1A1)=30，DA1C1=DA1B1+B1A1C1=90，即DA1A1C1。CC1平面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1A1C1，CA1C1是所求二面角的平面角。CC1= AA1=A1B1=A1C1, A1C1C=90，CA1C1=45，即所求二面角为45。19.

5、解 （1）ABC是正三角形，AF是BC边的中线，AFBC。又D、E分别是AB、AC的中点，DEBC。AFDE，又AFDE=G，AGDE，GFDE，DE平面AFG，又DE平面BCED，平面AFG平面BCED。（2）AGDE，GFDE，AGF是二面角ADEB的平面角。平面AGF平面BCED=AF，作AHAG于H ，AH平面BCED。假设AEBD，连EH并延长AD于Q，则EQAD。AGDE，H是正三角形ADE的重心，也是中心。AD=DE=AE=，AG=AG=a,HG=AG=a。在RtAHG中，cosAGH=.AGF =-AGH, cosAGF= -，AGF=arcos(-)，即当AGF=arcos(-)时，AEBD。20.解 （1）由已知AB=4，AD=2，BAD=60，得BD2=AD2+AB2-2ADABcos60 =4+16-224=12。AB2=AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB=90，即ADBD。在PDB中，PD=，PB=，BD=，PB2=PD2+BD2，故得PDBD。又PDAD=D，BD平面PAD。（2）BD平面PAD，BD平面ABCD，平面PAD平面ABCD。作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD与底面BCD所成的角，PDE=6