中考数学压轴题破解策略专题3《函数图象的公共点》

1、专题3函数图象的公共点破解策略根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为：（1）画图（2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势例如：直线y2xb其中待定系数是b则直线y2xb与直线y2x是平行或重合的；直线ykx1，其中待定系数是k，则直线ykx1是绕着固定点（0，l）旋转的；抛物线yax25其中待定系数是a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是变化的；抛物线yx2bxc，其中待定系数是b，c则可将一般式化为顶点式，再将抛物线yx2 上下左右平移得到（3）找临界点，例题讲解例1 若二次函数y x2 x1的图象与y轴的交点为A过点A作直线lx轴将抛物线在y轴左侧部分沿直线l翻折

2、，其余部分保持不变得到一个新图象，直线yxb与新图象只有一个公共点p（x0，y0），且y07，求b的取值范围解：当直线yxb经过点（0，1）时，得bl，当直线与原抛物线只有一个交点时，令x2 x1xb，整理得x23x33b0则94（33b）0，即b；当x2 x17时，解得x16，x24（舍），将（6，7）代入直线yxb，得b5结合函数图象，可得当lb5或b时，直线与新图象只有一个公共点例2 若二次函数yx22x3的图象与x轴交于A，B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折其余部分保持不变，得到一个新图象当直线y kx3与新图象恰有三个公共点时，求k的值解：当直线ykx3经过点A（1，0）时，

3、得k3;当直线ykx3经过点B（3，0）时，得k1；当直线与原抛物线只有一个公共点时，令kx3x22x3，则（k2）20即k2结合函数图象可得当k 1，2或3时，直线ykx3与新图象恰有三个公共点 例3 已知抛物线L：y（xt）（xt4）（常数t0）与双曲线y有个交点的横坐标为x0，且满足4x06通过L位置随t变化的过程，求出t的取值范围解：如图，双曲线在4x06时1y0，所以L与双曲线在点C（4，）D（6，1）之间的一段有个交点，圆为抛物线与x轴的两个交点为（t，0）（t4，0）（t4t），所以（t，0）在（t4，0）的右侧由（xt）（xt4），x4得t15t27， 由1（xt）（xt4）x

4、6，得t3 8，t48因为5878，所以当t5时，L右侧过点C；当t 8时，L右侧过点D；当t7时L左侧过点C；当t 8时L左侧过点D;所以5t8，或7t8例4 定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值当x0时，它们对应的函数值互为相反数；当x0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数yx1，它的相关函数为y 在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（，1）（，1）连结MN求线段MN与二次函数yx24xn的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围 解 由题意可得，二次函数yx24xn的相关函数为：当相关函数的图象经过点（2，1）时，如图， 此时n41即

5、n 3;当相关函教的图形经过点（0，1）时，如图，此时n 1;当相关函数的图形经过点（0，1）时，如图，此时n 1；当相关函数的图形经过点（，1）时如图， 此时（）24（）n1，解得n 结合函数图象，满足题意的n的取值范围为3n1或1n例5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx2（m0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且点B的距离都为2，若抛物线与线段BC有两个公共点，结合函数图象，求m的取值范围解：因为抛物线ymx22mx2m（x1）22m，所以抛物线的顶点为（1，2m），对称轴为x1，点A（0，2），所以点B的坐标为（1，0），从而点

6、C（1，0），D（3，0）若m0，如图1当顶点（1，2m）位于x轴下方时，抛物线与CD有两个交点所以2m0，即m2若m0，如图2若抛物线经过点C，D，则m2m20，即m当m时，抛物线与CD有两个交点综上所述，m的取值范围为m2或m进阶训练1在平面直角坐标系xOy中，直线y2x3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y2x3交于点C，如果抛物线ynx24nx5n（n0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围【答案】n或n3【提示】如图，根据题意可得B（0，3），C（3，3），若抛物线经过点B，则n，此时抛物线与线段BC有一个公共点；若抛物线经过点C，则n，此时抛物线与线段BC有两个公共点；当抛物线顶点在直线l上，则n3，此时抛物线与线段BC有一个公共点，所以n的取值范围为n或n32在平面直角坐标系xOy中，点P在抛物线yx2x4上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D（0，d），将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G当图象G与直线yx22只有两个公共点时，求d的取值范围【答案】 d0【提示】令直线y与原抛物线的两交点为A，B，则直线l经过点A，B时为临界状态，再结合图象，即可得d的取值范围 3如图，在平面直角坐标系xOy中，A （1，1），B（2，