2016年山东省高考理科数学试卷解析版

1、绝密启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析本试卷分第卷和第卷两部分，共4页满分150分考试用时120分钟考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号答案卸载试卷上无效 3. 第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修

2、正带不按以上要求作答的答案无效4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数满足，其中为虚数为单位，则 （A） （B） （C） （D）【解析】 设 ， 则， 所以，故选（B）（2）已知集合，则 （A） （B） （C） （D）【解析】 由题意，所以，故选（C）（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为

3、，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A）56 （B）60 （C）120 （D）140自习时间/小时频率/组距0.020.040.080.100.16o17.522.5202527.530【解析】 由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为 所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是 人，故选D（4）若变量满足，则的最大值是 （A）4 （B）9 （C）10 （D）12111【解析】 由是点到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点，所以是最优解，的最大值是10，故选C（5）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积

4、为 （A） （B） （C） （D）【解析】 由三视图可知,半球的体积为, 四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为，故选C （6）已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【解析】 由直线和直线相交，可知平面有公共点，所以平面和平面相交又如果平面和平面相交，直线和直线不一定相交故选A（7）函数的最小正周期是 （A） （B） （C） （D）【解析】 由 所以，最小正周期是，故选B（8）已知非零向量满足 ，若则实数的值为 （A）4 （B）4 （C） （D）【解析】 因为，由，有，即，

5、所以4，故选B（9）已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，则 （A）2 （B）1 （C）0 （D）2【解析】由，知当时，的周期为1，所以 又当时，所以于是故选D（10）若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质下列函数具有性质的是 （A） （B） （C） （D）【解析】 因为函数，的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有性质故选A第卷（共100分）开始结束输入a，b输出 ii=1i=i+1a=a+i ,b=b-iab是否二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11

6、）执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出的值为 【解析】时，执行循环体后，不成立；时，执行循环体后，不成立； 时，执行循环体后，成立；所以，故填 3.（12）若的展开式中的系数是，则实数 【解析】由，得，所以应填（13）已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率为 【解析】由题意，所以， 于是点在双曲线上，代入方程，得， 在由得的离心率为，应填2.（14）在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 【解析】首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，得事件发生时的取值空间为，其长度为，所以所求概率为，应填（15）在已知函数，其中，若存在实数，使

7、得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 【解析】因为的对称轴为，所以时单调递增，只要大于的最小值时，关于的方程在时有一根；又在，时，存在实数，使方程在时有两个根，只需； 故只需即可，解之，注意，得，故填三、解答题：本答题共6小题，共75分（16）（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知()证明：； （）求的最小值【解析】()由得 ，所以，由正弦定理，得（）由所以的最小值为（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线()已知分别为的中点，求证：平面；()已知，求二面角的余弦值【解析】()连结，取的中点，连结， 因为，在上底面内，不

8、在上底面内，EFBACGH所以上底面，所以平面； 又因为，平面，平面，所以平面； 所以平面平面，EFBACO，Oxyz 由平面，所以平面() 连结， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，于是有，可得平面中的向量，,于是得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，设二面角为，则二面角的余弦值为（18）（本小题满分12分）已知数列的前项和，是等差数列，且()求数列的通项公式；()令求数列的前项和【解析】()因为数列的前项和， 所以，当时，又对也成立，所以又因为是等差数列，设公差为，则当时，；当时，解得，所以数列的通项公式为()由，于是，两边同乘以，得，两式相减，得（19）（本小题满分12分）

9、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：() “星队”至少猜对3个成语的概率；() “星队”两轮得分之和的分布列和数学期望【解析】() “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”设“至少猜对3个成语”为事件；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件，则；所以() “星队”两轮得分之和的所有可能取值为

10、0,1,2,3,4,6于是；的分布列为：012346的数学期望（20）（本小题满分13分）已知() 讨论的单调性；() 当时，证明对于任意的成立【解析】() 求导数当时，单调递增，单调递减；当时，（1） 当时，或，单调递增，单调递减； (2) 当时， ，单调递增，(3) 当时，或，单调递增，单调递减；() 当时，于是， ，令，于是，的最小值为；又设，因为，所以必有，使得，且时，单调递增；时，单调递减；又，所以的最小值为所以即对于任意的成立（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点() 求椭圆的方程；() 设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点（i）求证：点在定直线上；（ii）直线与轴交于点,记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标【解析】() 由离心率是，有，又抛物线的焦点坐标为，所以，于是，所以