计量经济学—序列相关性

1、第三节 序列相关性,序列相关性含义及引起的后果,序列相关的检验,序列相关的克服,4.3.1 序列相关性含义及引起的后果,一、序列相关的含义及性质 1、序列相关的含义 针对线性模型（2.1）式 当 ，(i, j n, i j), 即误差项 的取值在时间上是相互无关的。称误差项 非序列相关。 如果 ， (i j) (4.51) 则称误差项 存在序列相关。,序列相关又称自相关。 原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。 这里主要是指回归模型中随机误差项 与其滞后项的相关关系。 序列相关也是相关关系的一种。,序列相关按形式可分为两类。 (1)一阶自回归形式 当误差项 只与其滞后一期值有关时，即 =

2、 f ( ), 称 具有一阶自回归形式。,(2) 高阶自回归形式 当误差项 的本期值不仅与其前一期值有关，而且与其前若干期的值都有关系时，即 则称 具有高阶自回归式。,通常假定误差项的序列相关是线性的。因计量经济模型中序列相关的最常见形式是一阶自回归形式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归形式，即 (4.52) 其中 是序列相关回归系数， 是随机误差项。 满足通常假设,针对（4.52）式，利用OLS方法，得到 的估计公式为， = (4.53) 其中n是样本容量。若把 ， 看作两个变量，则它们的相关系数是 = (4.54),对于大样本而言，显然有 (4.55) 把（4.55）式代入（4.54

3、）式得 = (4.56),因而对于总体参数而言，有 = ，即一阶自回归形式的序列相关回归系数等于该两个变量的相关系数。因此原回归模型中误差项 的一阶自回归形式(4.52)式可表示为 (4.57) 的取值范围是 -1，1。 当 0 时，称 存在正序列相关； 当 0时，称 存在负序列相关。 当 = 0时，称 不存在序列相关。,图4.8 a, c, e, 分别给出具有正序列相关，负序列相关和非序列相关的三个序列。为便于理解时间序列的正负序列相关特征，图4.8 b、d、f分别给出图4.8 a、c、e中变量对其一阶滞后变量的散点图。正负序列相关以及非序列相关性展现的更为明了。,图4.8 时间序列及其自相

4、关散点图,a. 非序列相关的序列图,b. 非序列相关的散点图,c. 正序列相关的序列图,d. 正序列相关的散点图,e. 负序列相关的序列图,f. 负序列相关的散点图,2、序列相关有关性质,针对一阶自回归(4.57)式 ，讨论误差项 的期望、方差与协方差公式。由(4.57)式知 (4.58) 因为对于平稳序列有 ，整理（4.58）式得 的期望为 (4.59),那么， 的方差为 整理上式得 (4.60),其协方差为 (4.61) 同理 (s 0 ) (4.62),则由(4.60)式、(4.61)式和(4.62)式得 其中 。 从而验证了当回归模型的误差项 存在一阶自回归形式时， 。同理也可证明当

5、存在高阶自回归形式时，仍有 。 这里要说明的是，自相关多发生于时间序列数据中。若出现于截面数据中，称其为空间自相关。,3、序列相关的来源与后果,误差项存在序列相关，主要有如下几个原因。 (1) 模型的数学形式不妥。 若所用的数学模型与变量间的真实关系不一致，误差项常表现出自相关。比如平均成本与产量呈抛物线关系，当用线性回归模型拟合时，误差项必存在自相关。 (2) 经济变量的惯性。 大多数经济时间序列都存在自相关。其本期值往往受滞后值影响。突出特征就是惯性与低灵敏度。如国民生产总值，固定资产投资，国民消费，物价指数等随时间缓慢地变化，从而建立模型时导致误差项自相关。,(3) 回归模型中略去了带有

6、自相关的重要解释变量。 若丢掉了应该列入模型的带有自相关的重要解释变量，那么它的影响必然归并到误差项 中，从而使误差项呈现自相关。当然略去多个带有自相关的解释变量，也许因互相抵消并不使误差项呈现自相关。,当误差项 存在序列相关时，模型参数的最小二乘估计量具有如下特性。 (1) 只要假定条件 成立，回归系数 仍具有无偏性。 (4.63),(2) 丧失有效性。 如果回归模型中误差项 存在一阶自回归形式(4.57)式，根据(4.62)式的结果，知 (4.64) 与 不等。,(3) 有可能低估误差项 的方差。低估回归参数估计量的方差，等于夸大了回归参数的抽样精度，过高的估计统计量t的值，从而把不重要的

7、解释变量保留在模型里，使显著性检验失去意义。 (4) 由于 存在自相关时， （ ）和 都变大，都不具有最小方差性。所以用依据普通最小二乘法得到的回归方程去预测，预测是无效的。,4.3.2 序列相关的检验,1、定性分析法 定性分析法就是依据残差ei 对时间i的序列图的性质作出判断。由于残差et是对误差项的估计，所以尽管误差项 观测不到，但可以通过ei的变化判断 是否存在序列相关。,定性分析法的具体步骤是， (1) 用给定的样本估计回归模型，计算残差ei , (i = 1, 2, n)，绘制残差图； (2) 分析残差图。若残差图与图4.8 a 类似，则说明 不存在自相关；若与图4.8 c类似，则说

8、明 存在正自相关；若与图4.8 e 类似，则说明 存在负自相关。 经济变量由于存在惯性，不可能表现出如图4.8 e那样的震荡式变化。其变化形式常与图4.8中c相类似，所以经济变量的变化常表现为正自相关。,2、DW（Durbin-Watson）检验法,DW检验是J. Durbin, G. S. Watson于1950年发表的一篇论文Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression中提出的。它是利用残差ei 构成的统计量推断误差项 是否存在序列相关。,使用DW检验，应首先满足如下三个条件。 (1)误差项 的自相关为一阶自回归形式。

9、 (2)因变量的滞后值 不能在回归模型中作解释变量。 (3)样本容量应充分大（n 15）,DW检验的基本思想如下。给出假设 H0: （ 不存在序列相关) H1: ( 存在一阶序列相关) 用残差值 ei计算统计量DW。 DW = (4.65) 其中分子是残差的一阶差分平方和，分母是残差平方和。,把上式展开， DW = (4.66) 因为有 (4.67) 代入(4.66)式，有 DW =2(1- )= 2,(4.68),因为的取值范围是 -1, 1，所以DW统计量的取值范围是 0, 4。 与DW值的对应关系见表4.1。,0 ,1 ,实际中DW = 0, 2, 4 的情形是很少见的。当DW取值在（0

10、, 2），（2, 4）之间时，怎样判别误差项是否存在序列相关呢？推导统计量DW的精确抽样分布是困难的，因为DW是依据残差ei 计算的，而ei的值又与的形式有关。DW检验与其它统计检验不同，它没有唯一的临界值用来制定判别规则。然而Durbin-Watson根据样本容量和被估参数个数，在给定的显著性水平下，给出了检验用的上、下两个临界值dU和dL 。,判别规则如下： (1) 若DW取值在（0, dL）之间，拒绝原假设H0 ,认为存在一阶正序列相关。 (2) 若DW取值在（4 - dL , 4）之间，拒绝原假设H0 ,认为存在一阶负序列相关。 (3) 若DW取值在（dU, 4- dU）之间，接受原假

11、设H0 ,认为 非序列相关。 (4) 若DW取值在（dL, dU）或（- dU, 4 - dL）之间，这种检验没有结论，即不能判别 是否存在一阶序列相关。,判别规则可用图4.9表示。 DW,图4.9 判别规则,当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。 加大样本容量或重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。 选用其它检验方法。 见附表5，DW检验给出DW检验临界值。DW检验临界值与三个参数有关。 检验水平， 样本容量n , 原回归模型中解释变量个数k（不包括常数项）。,这里我们应该提及的是， 不适用于联立方程模型中各方程的序列相关检验。 DW统计量不适用于对高阶序列相关的检验

12、。因为DW统计量是以解释变量非随机为条件得出的，所以当有滞后的内生变量作解释变量时，DW检验无效。,3、回归检验法,回归检验法的优点是： 第一，适合于任何形式的序列相关检验； 第二，若结论是存在序列相关，则同时能提供出序列相关的具体形式与参数的估计值。 缺点是计算量大。,回归检验法的思想如下： 用给定样本估计模型并计算残差ei。 对残差序列ei , (i= 1 ,2 , , n) 用普通最小二乘法进行不同形式的回归拟合。如 ei = ei 1 + vi ei= 1 ei 1 + 2 e i 2 + vi ei= ei-12 + v I ei = + vi 对上述各种拟合形式进行显著性检验，从而

13、确定误差项存在哪一种形式的序列相关。,4.3.3 序列相关的克服,1、序列相关的克服方法 如果模型的误差项存在序列相关，首先应分析产生序列相关的原因。如果序列相关是由于错误地设定模型的数学形式所致，那么就应当修改模型的数学形式。怎样查明序列相关是由于模型数学形式不妥造成的？一种方法是用残差ei 对解释变量的较高次幂进行回归，然后对新的残差作DW检验，如果此时序列相关消失，则说明模型的数学形式不妥。,如果序列相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的，那么解决办法就是找出略去的解释变量，把它做为重要解释变量列入模型。怎样查明序列相关是由于略去重要解释变量引起的？一种方法是用残差ei对那些可能影响因

14、变量但又未列入模型的解释变量回归，并作显著性检验，从而确定该解释变量的重要性。如果是重要解释变量，应该列入模型。 只有当以上两种引起序列相关的原因都消除后，才能认为误差项 “真正”存在序列相关。在这种情况下，解决办法是变换原回归模型，使变换后的随机误差项消除序列相关，进而利用普通最小二乘法估计回归参数。,设原回归模型是 (4.69) 其中 具有一阶自回归形式 (4.70) 其中 满足通常的假定条件， 把(4.70)式代入(4.69)式， (4.71) 求模型(4.69)式的 (i-1) 期关系式，并在两侧同乘 ， (4.72),用(4.71)式减去(4.72)式得 (4.73) 令 ； ；,则

15、模型（4.73）式表示如下， (4.74) 上式中的误差项vi是非序列相关的，满足假定条件，所以可对上式应用最小二乘法估计回归参数。得估计量具有最佳线性无偏性。(4.74)式中的 就是原模型（4.69）式中的 ，而 与模型（4.69）中的 有如下关系， ， (4.74) 上述变换称作广义差分变换。 这里我们应该注意到，这种变换损失了一个观测值，样本容量变成（n-1）。,为避免这种损失，K. R. Kadiyala（1968）提出对Yi与Xji的第一个观测值分别作如下变换。 ； ( j = 1 , 2 , k ) 于是对模型(4.74)式，样本容量仍然为n。 事实上，这种变换的目的就是使相应误差

16、项 的方差与其它误差项 的方差保持相等。作上述变换后，有 则,根据（4.60）式，知 与其他随机误差项的方差相同。 当误差项 的序列相关具有高阶自回归形式时，仍可用与上述相类似的方法进行广义差分变换。,比如 具有二阶自回归形式， 则变换过程应首先求出原模型（i-1）期与（i-2）期的两个关系式，然后利用与上述相类似的变换方法建立符合假定条件的广义差分模型。 若 具有k阶自回归形式，则首先求k个不同滞后期的关系式，然后通过广义差分变换使模型的误差项符合假定条件。需要注意的是对二阶自回归形式，作广义差分变换后，要损失两个观测值；对k阶自回归形式，作广义差分变换后，将损失k个观测值。,为了在理论上讨

17、论方便，同时在应用上便于程序化，我们将克服序列相关的过程用矩阵描述。 对于线性回归模型 (4.75) 假定 不成立。 误差项 具有一阶自回归形式 则 由 (4.62) 式给出,(4.76) 其中 。 根据用广义最小二乘法的基本思想，很容易选取M为（按K. R. Kadiyala 提议补上第一个观测值） M,使得 即有 (4.77) 用M左乘模型（4.75），有 (4.78),令 则模型（4.78）表示为 (4.79) 其中 = = (4.80),因为 =E = E = = 说明变换后模型(4.79)式的误差项中不再有序列相关，对模型(4.79) 式进行参数估计得 (4.81),根据广义最小二乘

18、估计量的性质，则 具有最佳线性无偏性。 把原数据代入（4.81）式 (4.82),2、序列相关系数的估计,上面我们介绍了克服序列相关的方法。这种方法的应用还有赖于知道序列相关系数 值，然而在实际应用中，序列相关系数 往往是未知的，必须通过一定的方法去估计。这里介绍几种常用估计序列相关系数 的方法。 （1）科克伦-奥克特（Cochrane-Orcutt）迭代法 科克伦-奥克特迭代法的基本思想，是通过逐次迭代去寻求更为满意的序列相关系数 的估计值，具体步骤如下： 第一，用普通最小二乘法对模型（4.75）进行估计，然后对残差进行回归，即 (4.83),第二，用估计出来的 值进行广义差分，然后进行新的回归，即 其中， ； 。 对变换后的方程进行估计，得到 。 将这些修正过的参数代到原模型（4.75）式，得到新的回归残差为,第三，对新残差进行回归，即 (4.84) 得到新的 的估计值。这个迭代过程可以继续下去。 第四，将 的新估计值与前一个估计值比较，如果之间的差的绝对值小于0.01或0.05时，这样就停止迭代。否则，继续迭代。 需要注意的是， 的最后估计值不一定会使误差平方和最