一元一次不等式组(基础) 知识讲解(教师版)

1、一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组如，等都是一元一次不等式组 要点诠释： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上 (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集要点诠释：(1)找几个不

2、等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题设未知数找不等关系列不等式组解不等式组检验答要点诠释： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系 (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实

3、际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数【典型例题】类型一、不等式组的概念1某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件面积大于48平方米周长小于34米故必须构建不等式组来体现其不等关系【答案与解析】解：依题意得：【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似举一反三：【变式】直接写出解集：(1)的解集是_；(2)

4、的解集是_；(3)的解集是_；(4)的解集是_【答案】（1）；（2）；（3）；（4）空集类型二、解一元一次不等式组2.（2016莆田）解不等式组：【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集【答案与解析】解：解：由得x1；由得x4；所以原不等式组的解集为：x1【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方

5、法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了举一反三：【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来【答案】解：，解不等式得：x1，解不等式得：x2，不等式组的解集为：2x1在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树

6、；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：(4x +37)- 6（x-1）棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说(4x +37)- 6（x-1）3，或者理解为：(3x +8)- 5（x-1）2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：，不等式(1)的解集是：x；不等式（2）的解集是：x20，所

7、以，不等式组的解集是：20x，因为x是整数，所以，x=21，421+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得的利润；若按原价的九折销售，可获得不足的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为元，根据题意可得：解得：答：此商品的原价在元（包括元）至40元范围内4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书经了解，20本文学名著和40本动漫

8、书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案【思路点拨】（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和

9、18元；（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组举一反三：【变式】A地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设

10、计出来（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车辆，则租乙种货车（）辆，依题意得：，解得，又为整数，所以或6或7，有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆（2）运输费用：方案1：200051300516500（元）；方案2：200061300417200（元）；方案3：200071300317900（元）方案1运费最少，应选方案1一元一次不等式组（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1下列选项中是一元一次

11、不等式组的是（）A B C D2不等式组的解集在数轴上表示为 （ ）3（2016来宾）已知不等式组的解集是x1，则a的取值范围是（）Aa1 Ba1 Ca1 Da14不等式的整数解有（ ）A4个 B3个 C2个 D1个5现用甲、乙两种运输车将46t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t，乙种运输车载重4t，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）A4辆 B5辆 C6辆 D7辆6如果|x+1|1+x，|3x+2|-3x-2，那么x的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题7.如果a2，那么不等式组的解集为_，的解集为_8（2016广东）不等式组的解集是 9不等式组的所有整数解的和是_10

12、. 如图所示，在天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m(g)的取值范围为 11从彬彬家步行到学校的路程是2400米，如果彬彬7时离家，要在7时30分至40分间到达学校，那么步行的速度x（米/分）的范围是_12. 在ABC中，三边为、,如果，那么的取值范围是 三、解答题13.解下列不等式组，并将其解集在数轴上表示出来 （1）；（2）13x-24；14.若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围15.郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典(1)每个书包和每本

13、词典的价格各是多少元?(2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品共有哪几种购买书包和词典的方案?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；【解析】解：A、含有两个未知数，错误；B、未知数的次数是2，错误；C、含有两个未知数，错误；D、符合一元一次不等式组的定义，正确；故选D.2. 【答案】A；【解析】解不等式组可得：3. 【答案】A；4. 【答案】B； 【解析】，解得：，所以整数解：-1，0，1.5. 【答案】C； 【解析】设甲种运输车安排x辆，5x+4（10-x）46，x6，故至少要甲种运输车6

14、辆6. 【答案】A； 【解析】由，解得二、填空题7. 【答案】x2，无解；8. 【答案】3x1；【解析】解不等式得：x1，解不等式得：x-3，所以不等式组的解集是：3x1.9. 【答案】-5； 【解析】所有整数解：-3，-2，-1,0,1，所以和为-5.10【答案】1m2；【解析】由第一幅图得m1，由第二幅图得m2，故1m211.【答案】60x80；【解析】设步行速度为x米/分，依题意可得：，得60x8012.【答案】4x28； 【解析】4x-3x284x+3x，即4x28三、解答题13.【解析】解：(1)由得解集为x3，由得解集为x3，在数轴上表示、的解集，如图，所以不等式组无解（2）不等式

15、组的解集为1x2，表示在数轴上如图：14.【解析】解：，+得2x=4m2，解得x=2m1，得2y=2m+8，解得y=m+4，x的值为负数，y的值为正数，4m15.【解析】解：(1)设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x-8)元根据题意得：3x+2(x-8)124解得：x28 x-820答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元(2)解：设购买书包y个，则购买词典(40-y)本根据题意得：，解得：10y12.5因为y取整数，所以y的值为10或11或12所以有三种购买方案，分别是：书包10个，词典30本；书包11个，词典29本； 书包12个，词典28本拓展部分：类型一、解一元一次不

16、等式组1.（2016深圳）解不等式组：【思路点拨】按照解不等式组的基本步骤进行求解就可以了【答案与解析】解：，解得x2，解得x1，则不等式组的解集是1x2【总结升华】求出不等式、的解集后，应取其公共部分作为不等式组的解集，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到举一反三：【变式】解不等式组 无解则a的取值范围是 ( )Aa1 Bal Ca1 Da1 【答案】B 2. 不等式组是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.【思路点拨】解这类问题的第一步是分别求出各个不等式的解集；第二步借助数轴以确定不等式组的公共解集；最后看公共解集中是否存在整数解.【答案与解

17、析】解：解不等式（1），得：x2；解不等式（2），得：x-3；解不等式（3），得：x-2；在数轴上分别表示不等式（1）、（2）、（3）的解集：原不等式组的解集为：-2x2.原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1.【总结升华】求不等式组的解集就是求不等式组中所有不等式解集的公共部分.对于三个以上的不等式有时不容易得到公共解集，于是常常借助数轴的直观性，这样较容易确定其解集.在数轴上表示点的位置，要注意空心圈与实心圆点的不同用法.举一反三：【变式】（2015北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解【答案】解：，由得：x2；由得：x，不等式组的解集为2x，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2

18、，33.试确定实数a的取值范围使不等式组 恰好有两个整数解【思路点拨】先确定其解集，再判断出整数解，最后利用数轴确定a的范围【答案与解析】解：由不等式，去分母得3x+2(x+1)0，去括号，合并同类项，系数化为1后得x由不等式去分母得3x+5a+44x+4+3a，可解得x2a所以原不等式组的解集为，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，故有：12a2，所以：【总结升华】此题考查的是一元一次不等式组的解法，得出x的整数解，再根据x的取值范围求出a的值即可举一反三：【变式】.已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x2，求a的值【答案】解：解第一个不等式，得解集，解第二个不等式，得解集，不等式组的

19、解集为x2，即，又为自然数，或1或2类型二、解特殊的一元一次不等式组4.（2015黔西南州）求不等式（2x1）（x+3）0的解集解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：或 解得x；解得x3不等式的解集为x或x3请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x3）（x+1）0的解集（2）求不等式0的解集【答案与解析】解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得或，解得不等式组无解；解得，1x；（2）根据“同号两数相乘，积为正”可得，解得，x3，解得，x2，故不等式组的解集为：x3或x2【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答

20、此题的关键类型三、一元一次不等式组的应用5.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元 (1)该校初三年级共有多少人参加春游? (2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案【思路点拨】本题的关键语句是：“若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人”理解这句话，有两层不等关系 (1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数 (2)租用36座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x

21、-2)辆的座位数+30【答案与解析】 解：(1)设租36座的车x辆据题意得：，解得： 由题意x应取8，则春游人数为：368288(人) (2)方案：租36座车8辆的费用：84003200(元)， 方案：租42座车7辆的费用：74403080(元)， 方案：因为426+361288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：644014003040(元) 所以方案：租42座车6辆和36座车1辆最省钱【总结升华】本例不等关系相对隐蔽，需要在审题过程中加以挖掘举一反三：【变式1】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动

22、的同学已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？【答案】解：设购买的甲、乙、丙三种纪念品件数分别为x、y、z，由题意得：且由方程组得：解不等式组得：10x11x为整数，x10或x11当x10时，y12，z12当x11时，y13，z7可有两种方案购买【变式2】5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作 拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日

23、夜兼程赶赴灾区经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李(1) 设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案 【答案】解：（1）设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车，则：，解得：，应为整数，或8， 有两种租车方案，分别为：方案1：租甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；方案2：租甲种汽车8辆，乙种汽车0辆（2）租车费用分别为：方案1: 800076000162000（元）；方案2：8000:864000（元） 方案1花费最低，所以选择方案1【巩固练习】一、选择题1（2016聊城）

24、不等式组的解集是x1，则m的取值范围是（）Am1 Bm1 Cm0 Dm02若不等式组有实数解则实数m的取值范围是 ( ) A B C D3若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ( ) Aa1 Bal C1 Da1 4关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( )A6m7 B6m7 C6m7 D6m75某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有 （ ） A20人 B19人 C11人或13人 D20人或19人6某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后

25、，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（ ） A10km B9 km C8km D7 km 二、填空题7.已知，且，则k的取值范围是_8（2016龙东地区）不等式组有3个整数解，则m的取值范围是9如果不等式组的解集是0x1，那么a+b的值为_10将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子分得的橘子将少于3个，则共有_个儿童，_个橘子11对于整数a、b、c、d，规定符号已知，则b+d的值是_ 12. 在ABC中，三边为、,（1）如果，那么的取值范围是 ；（2）已知ABC的周长是12，若是最大边，

26、则的取值范围是 ；（3） 三、解答题13.解下列不等式组(1) (2) （3）（4）14.已知：关于x，y的方程组的解是正数，且x的值小于y的值 （1）求的范围； （2）化简|8+11|-|10+1|15.某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】不等式整理得：，由不等式组的解集为x1，得到m+11，解得：m0，故选D.2. 【答案】A；【解析】原不等式组可化为而不等式组有解，根据不等式组解集的确定方法“大小小大中间找”可知m3. 【答案】B； 【解析】原不等式组可化为根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解了”可知a14. 【答案】D； 【解析】解得原不等式组的解集为：3xm，表示在数轴上如下图，由图可得：6m75. 【答案】D； 6. 【答案】B； 【解析