高中数学 章末检测（二） 圆锥曲线与方程 新人教A版选修1-1

1、章末检测(二)圆锥曲线与方程时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线x2y的焦点坐标为()A. B. C. D.解析：利用抛物线方程直接求解抛物线x2y的焦点坐标是，故选D.答案：D2若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等解析：因为0k0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离及p，可知所求距离为，故选D.答案：D6双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2PF1，l

2、2PF2，则双曲线的离心率是()A. B2C. D.解析：利用双曲线的几何性质建立基本量的关系求解由题意可知PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，所以|OP|c.又直线PF2：y(xc)与渐近线l1的交点P的横坐标是xP，所以，故e213，解得离心率e2，故选B.答案：B7已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：双曲线的渐近线方程为yx，因为一条渐近线与直线y2x10平行，所以2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10上，所以2c100.所以c5.由得答案：A8F1，F2为椭圆：1(a

3、b0)的左、右焦点，点M在椭圆上若MF1F2为直角三角形，且|MF1|2|MF2|，则椭圆的离心率为()A.或 B.或C.或 D.或解析：依题意，设|MF2|m，则|MF1|2m.当点F2为直角顶点时，|F1F2|m，此时该椭圆的离心率是；当点M为直角顶点时，|F1F2|m，此时该椭圆的离心率是，故选A.答案：A9设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于()A4 B6C7 D8解析：由渐近线方程yx，且b3，得a2，由双曲线的定义，得|PF2|PF1|4，又|PF1|3，|PF2|7.答案：C10设F为抛物线

4、C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.解析：由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.法一联立抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.答案：D11已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.1 B.1Cx21 D.1解析：由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c2，a2246，因此椭圆方程为1，故选D.答案：D12与

5、抛物线y28x相切且倾斜角为135的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A，B两点的最小圆截抛物线y28x的准线所得的弦长为()A4 B2 C2 D.解析：设直线l的方程为yxb，联立直线与抛物线方程，消元得y28y8b0，因为直线与抛物线相切，故824(8b)0，解得b2，故直线l的方程为xy20，从而A(2,0)，B(0，2)，因此过A，B两点最小圆即为以AB为直径的圆，其方程为(x1)2(y1)22，而抛物线y28x的准线方程为x2，此时圆心(1，1)到准线距离为1，故所截弦长为22，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13椭

6、圆1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2的大小为_解析：a29，b22，c27，c.|PF1|PF2|2a6，在PF1F2中，|PF1|4，|PF2|2，cosF1PF2，F1PF2120.答案：12014设斜率为1的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为_解析：依题意，有F(，0)，直线l为yx，所以，A(0，)，OAF的面积为：8，解得：a16，依题意，只能取a16.答案：1615过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则_.解析：由题意

7、可得焦点F，故直线AB的方程为yx，与x22py联立得A，B两点的横坐标为xAp，xBp，故A，B，所以|AF|p，|BF|2p，所以.答案：16. 双曲线1(a0，b0)与抛物线yx2有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于_解析：双曲线与抛物线x28y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知点在双曲线上，得a23，故e.答案：三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程解析：当直线l的斜率不存在时，x1与对称轴平行，有一个交点；当

8、直线l的斜率存在时，设直线方程为y2k(x1)，与y2x2联立，得2x2kxk20，由k28(k2)0得k4，所以直线l的方程为y4x2.综上，直线l的方程为x1或y4x2.18(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2,0)作斜率为 的直线，交双曲线于M，N两点，且|MN|4，求双曲线方程解析：设所求双曲线方程为1(a0，b0)，由右焦点为F(2,0)知c2，b24a2，则双曲线方程为1.直线MN的方程为：y(x2)，代入双曲线方程整理，得(208a2)x212a2x5a432a20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|MN| 4.解得：a21，b2413.故

9、所求双曲线方程为：x21.19(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解析：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又|OA|OB|，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.因为x10，x20,2p0，所以x1x2，由此可得|y1|y2|，即点A，B关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.所以|AB|2y14p.20(12分)已知椭圆1(ab0)，点P在椭圆上(1)求椭圆的离

10、心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|AO|，求直线OQ的斜率解析：(1)因为点P在椭圆上，故1，可得.于是e21，所以椭圆的离心率e.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx.设点Q的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|AQ|AO|，A(a,0)及y0kx0得，(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，故x0.代入，整理得(1k2)24k24.由(1)知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直线OQ的斜率k.21(13分)已知抛物线Q：y22px(p0)的焦点与椭圆1的右焦点相同(1)求抛

11、物线Q的方程；(2)如图，设A，B，C是抛物线Q上任意不同的三点，且点A位于x轴上方，B，C，位于x轴下方直线AB，AC与x轴分别交于点E，F，BF与直线OC，EC分别交于点M，N.记OBM，ENF，MNC的面积依次为S1，S2，S3，求证：S1S2S3.解析：(1)椭圆1的右焦点为(1,0)，由于抛物线Q：y22px(p0)的焦点与椭圆1的右焦点相同，1，即p2，故抛物线Q的方程为y24x.(2)证明：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，E(x4，y4)，F(x5，y5)设直线AB的方程为xtyx4，代入y24x得y24ty4x40，由韦达定理得y1y24x4，同理可得y1y34x5.y3得y1y2y34x4y3，y2得y1y2y34x5y2，x5y2x4y3.SOBFSOEC，S1S2S3.22(13分)已知M(x1，y1)是椭圆1(ab0)上任意一点，F为椭圆的右焦点(1)若椭圆的离心率为e，试用e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值；(2)已知直线