高中数学 考点10 利用导数研究函数的单调性、极值、最值（含2017年高考试题）新人教A版

1、考点10 利用导数研究函数的单调性、极值、最值1、 选择题1.(2017全国甲卷理科T11)若x=-2是函数f(x)=(+ax-1)的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2C.5D.1【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意在考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力.【解析】选A.由题可得f(x)=(2x+a)+(+ax-1)=+(a+2)x+a-1,因为f(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(-x-1),故f(x)=(+x-2),令f(x)0,解得x1,所以f(x)在(-,-2)和(1,+)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x)极小

2、值=f(1)=(1-1-1)=-1.【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间,求导数f(x).(2)求f(x)的拐点,即求方程f(x)=0的根.(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.2.(2017浙江高考T7)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-,0)上是先减后增,在(0,+)上是先增后减再增,故选D.3.(2017山东高考文科T10)若函数g(x)=exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递

3、增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识分析问题、解决问题的能力.【解析】选A.A中,g(x)=ex2-x=,因为1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,满足题意,故选A;B中,g(x)=exx2,则g(x)=exx(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意;C中,g(x)=ex3-x=,因为0f(h(x)的形式,根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组)是重点

4、.突出考查考生的应变能力.【解析】因为f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+20,所以函数f(x)在R上单调递增,因为f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),f(a-1)+f(2a2)0,所以2a21-a,即2a2+a-10,解得-1a,故实数a的取值范围为.答案:5.(2017山东高考理科T15)若函数exf(x)(e=2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,则下列函数中所有具有M性质的函数的序号为f(x)=2-x;f(x)=3-x;f(x)=x3;f(x)=x2+2【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应

5、用已有知识分析问题、解决问题的能力.【解析】g(x)=ex2-x=,因为1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,满足题意;g(x)=ex3-x=,因为00恒成立,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,满足题意.综上,满足题意.答案:三、解答题6.(2017北京高考文科T20)同(2017北京高考理科T19)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【命题意图】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及求函数最值,意在培养学生的计算能力与分析解决问题的转化能力.【解析】(1)f(x)=ex

6、cosx-x,所以f(0)=1,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,所以f(0)=0,所以y=f(x)在(0, f(0)处的切线过点(0,1),k=0,所以切线方程为y=1.(2)f(x)=ex(cosx-sinx)-1,设f(x)=g(x),所以g(x)=-2sinxex0,所以g(x)在上单调递减,所以g(x)g(0)=0,所以f(x)0,所以f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f=-.7.(2017全国丙卷文科T21)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当a0),当a0时,f(x)0,则f(x)在(0,+)上单调递增,当a0时,则f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a0时,f(x)max=f则f-=ln+1,令y=l