高中数学 第一章 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介教学案 新人教A版选修4-4

1、四 柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，zR.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy

2、平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作P(r，)，其中r0,0，02.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为柱坐标与直角坐标的互相转化例1(1)设点A的直角坐标为(1，5)，求它的柱坐标(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标思路点拨直接利用公式求解解(1)由变换公式即212()24，2.tan ，又x0，y0，点A在第一象限，点A的柱坐标为

3、.(2)由变换公式得：x4cos 2，y4sin2，z8.点P的直角坐标为(2,2，8)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(，z)，代入变换公式求，也可利用2x2y2，求.利用tan 求，在求的时候特别注意角所在的象限，从而确定的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标解： 1.x0，y0，.点M的柱坐标为.2已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标解：由变换公式得x2cos0，y2sin2，故点N的直角坐标为(0,2,3).球坐标与直角坐标的互相转化例2(1)已知点P的球坐标为求它的直角坐标(2)已知点M的直角坐标为(2，2，2)，求它

4、的球坐标思路点拨直接套用坐标变换公式求解解(1)由变换公式得：xrsin cos 4sin cos 2.yrsin sin 4sinsin2.zrcos 4cos2.故其直角坐标为(2,2，2)(2)由坐标变换公式，可得r4.由rcos z2，得cos ，.又tan 1，(M在第三象限)，从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos 来求要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚和所在的位置.3求下列各点的直角坐标：(1)M；(2)N.解：(1)由变换公式得：xrsin cos 2sincos，y

5、rsin sin 2sinsin，zrcos 2cos.故其直角坐标是.(2)由变换公式得：xrsin cos 2sincos.yrsin sin 2sinsin.zrcos 2cos.故其直角坐标为.4求下列各点的球坐标：(1)M(1，2)；(2)N(1,1，)解：(1)由变换公式得：r2.由zrcos 得cos .，又tan ，x0，y0，它的球坐标为.(2)由变换公式得：r2.由zrcos 得：cos .又tan 1.x0，y0.它的球坐标为.一、选择题1在球坐标系中，方程r2表示空间的()A球B球面C圆 D直线解析：r2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面答

6、案：B2点P的柱坐标是，则其直角坐标为()A(2，2，3) B(2，2，3)C(2，2，3) D(2，2，3)解析：xcos 4cos2，ysin 4sin2，故其直角坐标为(2，2，3)答案：C3设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为()A. B.C. D.解析：由坐标变换公式，得r2，cos ，.tan 1，x0，y0，.M的球坐标为.答案：B4在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为()A. B.C. D.解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(1，1,1)，它的柱坐标为.答案：C二、填空题5点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为_解析：xcos 4cos 2，ysi

7、n 4sin2.即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为5.答案：56已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则tan _，tan _.解析：如图所示，tan ，tan 2.答案：27在球坐标系中A和B的距离为_解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)，B(1,1，)|AB|2.答案：2三、解答题8设点M的直角坐标为(1,1，)，求点M的柱坐标与球坐标解：由坐标变换公式，可得，tan 1，(点(1,1)在平面xOy的第一象限)r2.由rcos z(0)，得cos ，.所以点M的柱坐标为，球坐标为.9设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R,45，70)，点B的坐标为(R,45，160)，求A，B两点间的球面距离解：设纬度圈的圆心为O，地球球心为O，如图，OAOBR，由点A，B的球坐标可知，BOO45，AOO45，这两个点都在北纬904545圈上则xOQ70，xOH160，AOB1607090.OBR，OBOAR，ABR.则AOBOABR.AOB60，2RR.即A，B两点间的球面距离为R.10.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐