高中数学 第一章 数列测评 北师大版必修5

1、第一章 数列测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若数列的第k项等于3,则第3k项等于()A.3B.5C.7D.9解析:依题意=3,所以k=4,因此第3k项即第12项等于=5.答案:B2.等差数列an中,若a3+a4+a5=12,则an的前7项和S7=()A.22B.24C.26D.28解析:由等差数列的性质得a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,则S7=7a4=28.答案:D3.等比数列an中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于()A.8B.-8C.8D.以上都不对解析:由已知得所以a20,a60,从而a40,

2、且=a2a6=64,故a4=8.答案:A4.等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=9,则a7+a8+a9等于()A.-B.C.D.解析:由于S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又S3=8,S6=9,所以8,1,a7+a8+a9成等比数列,故a7+a8+a9=.答案:B5.若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10=()A.15B.12C.-12D.-15解析:an=(-1)n(3n-2),a1+a2+a10=-1+4-7+10-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-25+28)=35=15.答案:A6.定义:在数列an中,若满足=d(nN+

3、,d为常数),称an为“等差比数列”.已知在“等差比数列”an中,a1=a2=1,a3=3,则=()A.42 0172-1B.42 0182-1C.42 0152-1D.42 0162-1解析:因为a1=a2=1,a3=3,所以=2,所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列,所以=2n-1.所以=(22 016-1)(22 015-1)=42 0152-1,故选C.答案:C7.已知数列an中,an=n+,其前n项和为Sn,则数列的前8项和为()A.B.C.D.解析:因为an=n+,所以an是等差数列.从而Sn=,于是=2,所以前8项和T8=2.答案:B8.在函数y=f(x)的图像上有点列(xn

4、,yn),若数列xn是等差数列,数列yn是等比数列,则函数y=f(x)的解析:式可能为()A.f(x)=2x+1B.f(x)=4x2C.f(x)=log3xD.f(x)=解析:对于函数f(x)=图像上的点列(xn,yn),有yn=,因为xn是等差数列,所以xn+1-xn=d.因此,这是一个与n无关的常数,故yn是等比数列,故选D.答案:D9.+的值为()A.B.C.D.解析:,+=.答案:C10.已知数列an满足a1=0,且an+1=an-2,则an的通项公式是()A.an=B.an=C.an=-3D.an=-3解析:由an+1=an-2,得an+1+3=(an+3),所以an+3是首项为0+

5、3=3,公比为的等比数列,于是an+3=3,故an=3-3,即an=-3.答案:D11.已知等比数列an满足an0,n=1,2,且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1等于()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析:设公比为q,则a5a2n-5=(a1q4)(a1q2n-6)=q2n-2=22n,所以a1qn-1=2n,即an=2n,所以原式=log2(a1a3a2n-1)=log221+3+2n-1=log2=n2.答案:C12.导学号33194031已知等差数列an的通项公式an=,设An=|an+an+1+an+

6、12|(nN+),则当An取最小值时,n的取值为()A.16B.14C.12D.10解析:由an=0,得n16,且a16=0,所以a16-i+a16+i=0(iN+),An中共13项的和,因此取n=10,则an+an+1+an+12=0,即An=0最小,故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则an的公比为.解析:S1,2S2,3S3成等差数列,4S2=S1+3S3,4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),a2=3a3,q=.答案:14.(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数,其前

7、n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=.解析:设该等比数列的公比为q,则S6-S3=14,即a4+a5+a6=14.S3=,a1+a2+a3=.由得(a1+a2+a3)q3=14,q3=8,即q=2.a1+2a1+4a1=,a1=,a8=a1q7=27=32.答案:3215.(2017全国2高考)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知解得所以Sn=na1+d=.所以=2.所以=2=2.答案:16.导学号33194032设数列an满足a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n4),则a2 015=

8、.解析:由an=an-1+an-2-an-3,得an+1=an+an-1-an-2,两式相加,得an+1=2an-1-an-3,即an+1+an-3=2an-1(n4),所以数列an的奇数项和偶数项均构成等差数列.因为a1=1,a3=9,所以奇数项的公差为8,所以a2 015=1+8(1 008-1)=8 057.答案:8 057三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列an中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n2,nN+).(1)求a2,a3,并证明an-n是等比数列;(2)求an的通项公式.解(1)由已知an=2an-1-n+2(n2,nN+),得a2=

9、4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2=2an-1-(n-1),=2.又a1-1=1,an-n是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1)知an-n=12n-1,an=2n-1+n.18.(本小题满分12分)已知等差数列an,Sn为其前n项和,a5=10,S7=56.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an+(,求数列bn的前n项和Tn.解(1)由S7=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=56,得a4=8,所以公差d=a5-a4=2,an=a5+(n-5)d=2n,即an=2n.(2)将an=2n代入得bn=2n+3n,所以Tn=(2+31)+(4+32)+(6+3

10、3)+(2n+3n)=(2+4+2n)+(3+32+3n)=n2+n+.19.(本小题满分12分)已知等差数列an的公差d0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列的前n项和为Tn,求证:Tn.(1)解由已知,S5=5a3,a3=14,又a2,a7,a22成等比数列,由(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d),且d0可解得a1=d,a1=6,d=4,故数列an的通项公式为an=4n+2,nN+.(2)证明由(1)知Sn=2n2+4n,Tn=.显然,Tn0,对于任意的正整数都成立,Sn+1Sn,即前n项和Sn组成的新数列S

11、n为递增数列.21.(本小题满分12分)各项均为正数的数列an满足a1=1,=2(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.解(1)因为=2,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以=1+(n-1)2=2n-1.因为an0,所以an=(nN+).(2)由(1)知,an=,所以.所以Sn=+,则Sn=+,-得Sn=+=+2=+2=.所以Sn=3-.22.导学号33194033(本小题满分12分)(2016全国甲高考)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6