高中数学 模块复习精要（三）不等式新人教B版必修5VIP

1、复习课(三)不等式一元二次不等式一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽(1)确定ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)在判别式0时解集的结构是关键在未确定a的取值情况下，应先分a0和a0两种情况进行讨论(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2bxc0的两个根

2、，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论典例(1)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则不等式2x2bxa0的解集为()A. B. Cx|2x1 Dx|x1(2)解关于x的不等式ax22axa30.解析(1)由题意知x1，x2是方程ax2bx20的根由根与系数的关系得不等式2x2bxa0，即2x2x10.解得1x.答案A(2)解：当a0时，解集为R；当a0时，12a0

3、，解集为R；当a0时，12a0，方程ax22axa30的两根分别为，此时不等式的解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为R；a0时，不等式的解集为.类题通法解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集1函数f(x)的定义域是()A(，1)(3，) B(1,3)C(，2)(2，) D(1,2)(2,3)解析：选D由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)(2,3)2若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax26xa20的一个根，即a2a60，解

4、得a2或a3，当a2时，不等式ax26xa20的解集是(1,2)，符合要求；当a3时，不等式ax26xa24的解集为x|xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；当c2时，不等式(x2)(xc)2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0

5、的解集为x|cx2；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0，b0)，当且仅当ab时，等号成立；(2)a2b22ab，ab2(a，bR)，当且仅当ab时，等号成立；(3)2(a，b同号且均不为零)，当且仅当ab时，等号成立；(4)a2(a0)，当且仅当a1时，等号成立；a2(a0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案(1)C(2)C类题通法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或

6、积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值1已知1(x0，y0)，则xy的最小值为()A1 B2C4 D8解析：选Dx0，y0，xy(xy)4244 8.当且仅当，即xy4时取等号2设x，yR，且xy0，则的最小值为_解析：54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立答案：93某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投

7、入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解：(1)设每件定价为t元，依题意，有8(t25)0.2t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解x210(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价

8、为每件30元简单线性规划高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体应用，命题形式以选择题、填空题为主，命题模式是以线性规划为载体，考查区域的划分、区域的面积，涉及区域的最值问题、决策问题、整点问题、参数的取值范围问题等1确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法2利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小

9、值典例(1)设变量x，y满足约束条件：则目标函数z的最小值为()A1 B2C3 D4(2)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()A36万元 B31.2万元C30.4万元 D24万元解析(1)不等式组所表示的平面区域如图中的ABC，目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0，1)连线的斜率，显然图中AP的斜率最小由解得点A的坐标为(2,1)，故目标函数z的最小值为1.(

10、2)设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，则目标函数z0.4x0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax0.4240.63631.2，所以选B.答案(1)A(2)B类题通法(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验1不等式组表示的平面区域的面积为()A4 B1C5 D无穷大解析：选B不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即为所求求出点A，B，C

11、的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则ABC的面积为S(21)21.2已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a_.解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是有a1.答案：13某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800

12、元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买_台，第二种机器应购买_台解析：设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总的年利润为z万日元，则目标函数为z9x6y.不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点当直线z9x6y经过点M，即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点(33,7)，此时z9x6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大答案：3371若0，则下列不等式不正确的是()Aabab B.0Cabb2 Da2b2解析：选D由0，可得ba0，故选D.2已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解

13、集为B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab等于()A3 B1C1 D3解析：选A由题意：Ax|1x3，Bx|3x2ABx|1x2，由根与系数的关系可知：a1，b2，ab3.3函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax1，x10.yx1222当且仅当x1，即x1时等号成立4若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域内，则2xy的最小值为()A4 B0C2 D4解析：选D如图，阴影部分为封闭区域作直线2xy0，并向左上平移，过点A时，2xy最小，由得A(1,2)，(2xy)min2(1)24.5已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x

14、轴相切，则a2b2的最大值为()A5 B29C37 D49解析：选C由已知得平面区域为MNP内部及边界圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6,1)处时，amax6.a2b2的最大值为621237.故选C.6设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1C. D3解析：选B由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，.又x，y，z为正实数，4，即1，当且仅当x2y时取等号，此时z2y2.221，当1，即y1时，上式有最大值1.7若x，y满足约束条件则的最大值为_解析：画出可行域如图阴影部分所示，表示过点(x，y)与原点(0,0

15、)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时最大由得A(1,3)的最大值为3.答案：38设正数a，使a2a20成立，若t0，则logat_loga(填“”“”“”或“0，所以a1，又a0，所以a1，因为t0，所以 ，所以logalogalogat.答案：9已知实数x，y满足则目标函数zx2y的最小值是_解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示目标函数可化为yxz，作直线yx及其平行线，知当此直线经过点A时，z的值最大，即z的值最小又A点坐标为(3,6)，所以z的最小值为3269.答案：910某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min，生产一个骑兵需

16、7 min，生产一个伞兵需4 min，已知总生产时间不超过10 h若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润W5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为：整理得目标函数为W2x3y300，如图所示，作出可行域初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，由得最优解为A(50,50)，所以Wmax550(元)故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润

17、最大，为550元11某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元设f(n)表示前n年的纯利润总和(注：f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额)(1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，f(n)2n240n72.(1)获利就是要求f(n)0，所以2n240n720，解得2ng(x) Bf(x)g(x)Cf(x)0，所以f

18、(x)g(x)2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，B60，那么角A等于()A135 B90C45 D30解析：选C由正弦定理知，sin A.又ab，B60，A0的解集为(，1)(m，)，则am()A1 B1C2 D3解析：选D由题意，知1，m是方程x23ax20的两个根，则由根与系数的关系，得解得所以am3，故选D.5已知x0，y0，且xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25C9 D36解析：选B(1x)(1y)22225，因此当且仅当1x1y即xy4时，(1x)(1y)取最大值25，故选B.6已知数列an为等差数列，且a12，a2a313，则a4a5a

19、6等于()A40 B42C43 D45解析：选B设等差数列an的公差为d，则2a13d13，d3，故a4a5a63a112d3212342.7钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B.C2 D1解析：选BSABCABBCsin B1sin B，sin B，B45或135，若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，因此B135，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12215，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意故选B.8已知Sn为正项等比数列an的前n项和，S33a12a2，且a2，a4，a5成等差数列，则a1()A2 B.C. D4解析：

20、选C设数列an的公比为q(q0)，则由S33a12a2可得q2q20，解得q2或q1(舍去)，又a2，a4，a5成等差数列，所以2a4a2a5，即a2，所以a1.9在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B.C. D.解析：选B由余弦定理得AB242AB2cos 607，解得AB3或AB1(舍去)，设BC边上的高为x，由三角形面积关系得BCxABBCsin 60，解得x，故选B.10某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最

21、少，那么这两家工厂工作的时间分别为()A16,8 B15,9C17,7 D14,10解析：选A设A工厂工作x小时，B工厂工作y小时，总工作时数为z，则目标函数为zxy，约束条件为作出可行域如图所示，由图知当直线l：yxz过Q点时，z最小，解方程组得Q(16,8)，故A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少11若log4(3x4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：选D由log4(3a4b)log2，得log2(3a4b)log2(ab)，所以3a4bab，即1.所以ab(ab)747，当且仅当，即a24，b32时取等号，故选D.12已知x，y满足

22、约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2C2 D3解析：选B画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验x2，y0符合题意，2a04，此时a2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_解析：因为实数x，y满足xy1，所以x22y2222，并且仅当x22y2且xy1，即x22y2时等号成立，故x22y2的最小值为2.答案：214已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_解析：由于三边长构

23、成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x4，x，x4.由一个内角为120，知其必是最长边x4所对的角由余弦定理得，(x4)2x2(x4)22x(x4)cos 120，2x220x0，x0(舍去)或x10，SABC(104)10sin 12015.答案：1515设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.答案：16若a0，b0，ab2，则下列不等式ab1；a2b22；2，对满足条件的a，b恒成立的是_(填序号)解析：因为ab21，

24、所以正确；因为()2ab2222ab4，故不正确；a2b22，所以正确；2，所以正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050.(1)求通项an；(2)若Sn242，求n.解：(1)设an的首项为a1，公差为d，则解得通项ana1(n1)d102n.(2)由Snna1d242，得12n2242，解得n11，或n22(舍去)故n11.18(12分)已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x1,1，不等式f(x)t2

25、恒成立，求t的取值范围解：(1)因为f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)，所以2x2bxc0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x2bxc0的两个根，由根与系数的关系，知5，0，所以b10，c0，所以f(x)2x210x.(2)对任意的x1,1，f(x)t2恒成立等价于对任意的x1,1，2x210xt20恒成立设g(x)2x210xt2，则由二次函数的图象可知g(x)2x210xt2在区间1,1上为减函数，所以g(x)maxg(1)10t，所以10t0，即t10，所以t的取值范围为(，1019(12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.20(12分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A，B两地相距100 m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 sA地测得该仪器在C处时的俯角为15，A地测得最高点H的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的