高中数学 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念学案（含解析）新人教A版必修3

1、11.1算法的概念算法的概念提出问题2014年8月“青奥会”在南京开幕，某人想观看“青奥会”的开幕式，通过网络订票成功，然后按时验票入场，观看完开幕式后退场返回问题1：观看开幕式的过程是明确的吗？提示：是明确的问题2：观众订票的方式是唯一的吗？提示：不唯一问题3：若你想去观看“青奥会”开幕式，如何设计你的行程？提示：首先订票，然后选择合适的交通工具按时到场，验票入场，观看开幕式导入新知化解疑难1对算法概念的理解(1)算法没有一个精确化的定义，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题(2)算法通常

2、可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题事实上，算法的概念很广泛，为解决一类问题而采取的方法和步骤都称为“算法”但我们这里讲的是计算机能实现的算法，即一类问题的机械的、统一的求解方法，如解方程(组)的算法、函数求值的算法等2算法的特征特征具体内容确定性算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的正确性和顺序性算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，上一步是下一步的前提，只有执行完上一步，才能执行下一步有限性一个算法必须在执行完有限步之后结束，而不能是无限的不唯一性求解某个问题的算法不一定是唯一的，一个问题可以有不同的算法普遍性很多具体的问题都可以设计合理

3、的算法去解决，写出的算法必须能解决一类问题算法与计算机提出问题问题1：在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，听音乐、看电影、玩游戏、办公、处理数据、收发邮件，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域那么你知道算法与计算机的关系吗？提示：算法是计算机科学的基础，计算机处理任何问题都要依赖于算法问题2：如何设计一个利用计算机求当x取任何值时函数f(x)x2x2的值的算法？试写出算法步骤提示：第一步，输入x.第二步，计算f(x)x2x2.第三步，输出f(x)导入新知算法与计算机的关系计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能

4、够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题化解疑难1算法设计的要求(1)设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；(2)算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不能含糊不清；(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去；(4)设计的算法的步骤应当是最简练的，即最优算法2算法与数学中的解法的联系和区别(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决(2)区别：算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为

5、数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程算法的概念例1(1)下列关于算法的描述正确的是() A算法与求解一个问题的方法相同B算法只能解决一个问题，不能重复使用C算法过程要一步一步执行D有的算法执行完以后，可能没有结果(2)下列叙述不能称为算法的是()A从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B解方程4x10的过程是先移项再把x的系数化成1C利用公式Sr2计算半径为2的圆的面积得22D解方程x22x10解析(1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能够重复使用，故B不对；每一个算法执行完以后，必须有结果，故D不对(2)选项A，B给出了

6、解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法答案(1)C(2)D类题通法理解算法的关键点(1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成活学活用计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是()S2461 000；S2461 000；S2462n(n1，nN)ABC D解析：选B由算法的有限性知不正确，而都可通过有限的步骤操作，输出确定结果.算法

7、的设计例2(1)早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤从下列选项中选出最好的一种算法()A第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播B第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播D第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶(2)写出求123456的一个算法解析(1)选CA所用时间为36分钟B所用时间为31分钟C所用

8、时间为23分钟D不符合日常生活规律(2)算法一：第一步，计算12，得到3.第二步，将第一步中的运算结果3与3相加，得到6.第三步，将第二步中的运算结果6与4相加，得到10.第四步，将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.第五步，将第四步中的运算结果15与6相加，得到21.算法二：第一步，将原式变形为(16)(25)(34)73.第二步，计算73.第三步，得到运算结果算法三：第一步，取n6.第二步，计算.第三步，得到运算结果类题通法设计具体问题的算法的步骤设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；(3)将解

9、决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将这个步骤表示出来活学活用1一个算法的步骤如下，如果输入x的值为3，则输出z的值为()第一步，输入x的值第二步，计算x的绝对值y.第三步，计算z2yy.第四步，输出z的值A4 B5C6 D8解析：选B分析算法中各变量、各语句的作用，再根据算法的步骤可知：该算法的作用是计算并输出z2|x|x|的函数值第一步，输入x的值3.第二步，计算x的绝对值y3.第三步，计算z2yy2335.第四步，输出z的值为5.2给定一个一元二次方程ax2bxc0，设计一个算法来判定方程根的情况解：第一步，计算b24ac；第二步，如果0，那么方程有两个不相等的实数根；第三步，

10、如果0，那么方程有两个相等的实数根；第四步，如果0，则yx1，然后执行第四步；否则执行第三步第三步，若x0，则y0；否则yx1.第四步，输出y的值随堂即时演练1下列可以看成算法的是()A学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题B今天餐厅的饭真好吃C这道数学题难做D方程2x2x10无实数根解析：选AA是学习数学的一个步骤，所以是算法，而其他三个选项都不是2已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：计算c；输入直角三角形两直角边长a，b的值；输出斜边长c的值其中正确的顺序是()ABC D解析：选D明确各步骤间的关系即可知D选项正确

11、3输入一个x值，利用y|x1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：第一步，输入x.第二步，_.第三步，计算yx1.第四步，输出y.解析：含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用本题中当x1时yx1；当x1时yx1，由此可完善算法答案：当x1时，计算yx1；否则，执行第三步4求过P(a1，b1)，Q(a2，b2)两点的直线的斜率有如下算法，请在横线上填上适当的步骤：第一步，取x1a1，y1b1，x2a2，y2b2.第二步，判断“x1x2”是否成立若是，则输出“斜率不存在”，结束算法；否则，执行第三步第三步，_.第四步，输出k.解析：根据题意，当“x1x2”时执行第三步，即计算斜

12、率k，此时只需用两点间的斜率公式即可求解答案：计算k5设计一个算法，求表面积为16的球的体积解：算法一：第一步，取S16.第二步，计算R(由于S4R2)第三步，计算VR3.第四步，输出运算结果算法二：第一步，取S16.第二步，计算V3.第三步，输出运算结果课时达标检测一、选择题1下列叙述中，能称为算法的个数为()植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；按顺序进行下列运算：112,213,314，991100；从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州观看广州恒大的亚冠比赛；3xx1；求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，.A2B3C4 D5答案：B2关于一元二次方程x25x60的求根问题，

13、下列说法正确的是()A只能设计一种算法B可以设计多种算法C不能设计算法D不能根据解题过程设计算法答案：B3一个厂家生产商品的数量按照每年比前一年都增加18%的比率递增，若第一年的产量为a，“计算第n年的产量”的算法中用到的一个函数解析式是()Ayan0.18 Bya(118%)nCya(118%)n1 Dyn(118%)n答案：C4对于解方程x22x30的下列步骤：设f(x)x22x3；计算判别式(2)241(3)160；作f(x)的图象；将a1，b2，c3代入求根公式x，得x13，x21.其中可作为解方程的算法的有效步骤为()ABCD答案：C5如下算法：第一步，输入x的值第二步，若x0，则y

14、x；否则，yx2.第三步，输出y的值若输出的y值为9，则x的值是()A3 B3C3或3 D3或9答案：D二、填空题6以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整第一步，两式相加得3x90.第二步，由式可得_第三步，将式代入式得y0.第四步，输出方程组的解_解析：由3x90，得x3，即处应填x3；把x3代入2xy60，得y0，即方程组的解为答案：x37已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步，取A89，B96，C99.第二步，_.第三步，_.第四步，输出计算的结果解析：应先计算总分DABC，然后再计算平均成绩E.答案：计算总分DABC计算平均成绩E8已知A(1,0)，B(3,2)，下面是求直线AB的方程的一个算法，请将其补充完整：第一步，_.第二步，用点斜式写出直线AB的方程y0x(1)第三步，将第二步的方程化简，得到方程x2y10.解析：该算法功能为用点斜式方程求直线方程，第一步应为求直线的斜率，应补充为“计算直线AB的斜率k”答案：计算直线AB的斜率k三、解答题9已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积设计一个算法解决这个问题解：算法步骤如下：第一步，输入a的值第二步，计算l的值第三步，计算Sl2的值第四步，输出S的值10有分别装有醋和酱油的A、