高中数学 第一章 导数及其应用章末小结与测评学案 新人教A版选修2-2

1、第一章 导数及其应用1.导数的几何意义：函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率2导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点3围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则kf(x0)，y0f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到典例1已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)

2、的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016.整理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，

3、y0)，则k，又kf(x0)3x1，3x1.解得，x02，y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.或即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.对点训练1设函数f(x)4x2ln x2，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解：f(x)8x.所以在点(1，f(1)处切线的斜率kf(1)7，又f(1)426，所以切点的坐标为(1,6)所以切线的方程为y67(x1)，即7xy1

4、0.借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点其特点是导数f(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体典例2设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解：(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，)此时f(x).可得f(1)，又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在

5、(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0.设x1，x2(x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a1，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数依题意当x(

6、1,4)时，f(x)0.故4a16，即5a7.因此a的取值范围是5,7对点训练2已知函数f(x)xekx(k0)，求f(x)的单调区间解：f(x)(1kx)ekx，若k0，则由f(x)0得1kx0，x；由f(x)0得x0时，f(x)的单调递增区间为，递减区间为.若k0得1kx0，x；由f(x).k0时，f(x)的单调递增区间为，递减区间为.3若a1，求函数f(x)ax(a1)ln(x1)的单调区间解：由已知得函数f(x)的定义域为(1，)，且f(x)(a1)，(1)当1a0时，f(x)0时，由f(x)0，解得x.f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值从上表可知，当x

7、时，f(x)0，函数f(x)在上单调递增综上所述，当1a0时，函数f(x)在(1，)上单调递减当a0时，函数f(x)在上单调递减，函数f(x)在上单调递增.1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质另函数有极值未必有最值，反之亦然2判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：(1)确定函数f(x)的定义域(2)解方程f(x)0的根(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号：若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意3求函数f(x)在闭区

8、间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值典例4已知函数f(x)x3ax23x，且x3是f(x)的极值点(1)求实数a的值；(2)求f(x)在x1,5上的最小值和最大值解：(1)f(x)3x22ax3.f(3)0，即276a30，a5.(2)f(x)x35x23x.令f(x)3x210x30，解得x3或x(舍去)当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,5)5f(x)0f(x)19 15因此，当x3时，f(x)在区间1,5上有最小值为f

9、(3)9；当x5时，f(x)在区间1,5上有最大值是f(5)15.典例5已知函数f(x)x2axln x，aR.(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；(3)令g(x)f(x)x2，是否存在实数a，当x(0，e(e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)当a0时，曲线f(x)x2ln x，所以f(x)2xf(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy0.(2)因为函数在1,2上是减函数，所以f(x)2xa0在1,2上恒成立，令

10、h(x)2x2ax1，有得得a.即实数a的取值范围为.(3)假设存在实数a，使g(x)axln x(x(0，e)有最小值3，g(x)a.当a0时，g(x)0，所以g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a(舍去)当e时，g(x)0在(0，e上恒成立，所以g(x)在(0，e上单调递减g(x)ming(e)ae13，a(舍去)当0e时，令g(x)00x0，知ax22ax10在R上恒成立因此4a24a4a(a1)0，又由a0，得0g(x)，则构造函数(x)f(x)g(x)，只需证(x)0即可，由此转化成求(x)最小值问题，借助于导数解决典例6已知函数f(x)x2ex1x3x2.

11、(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)x3x2，求证：对任意实数x，都有f(x)g(x)解：(1)f(x)x(x2)(ex11)，由f(x)0得x12，x20，x31.当2x1时，f(x)0；当x2或0x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(2,0)和(1，)上是增函数，在(，2)和(0,1)上是减函数(2)证明：f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)设h(x)ex1x，h(x)ex11，由h(x)0得x1，则当x1时，h(x)1时，h(x)0，即函数h(x)在(1，)上单调递增因此，当x1时，h(x)取最小值h(1)0.即对任意实数x都有h(x)0，又x20，所以f(x)g

12、(x)0，故对任意实数x，恒有f(x)g(x)对点训练6证明不等式ln x，其中x1.证明：设f(x)ln x(x1)，则f(x).x1，f(x)0，即f(x)在(1，)内为单调递增函数又f(1)0，当x1时，f(x)f(1)0，即ln x0，ln x.解决恒成立问题的方法：(1)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)maxm.(2)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)minm.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具典例7已知函数f(x)xln x.(1)若函数g(x)f(x)ax在区间e2，)上为增函数，求a的取值范围；(2)

13、若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值解：(1)由题意得g(x)f(x)aln xa1.函数g(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，g(x)0，即ln xa10在e2，)上恒成立a1ln x.又当xe2，)时，ln x2，)1ln x(，3，a3，即a的取值范围为3，)(2)由题知，2f(x)x2mx3，即mx2xln xx23.又x0，m.令h(x)，h(x)，令h(x)0.解得x1，或x3(舍)当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)在(1，)上单调递增h(x)minh(1)4，即m的最大值为4.对点训练7已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)有极值，求

14、b的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，当x1,2时，则f(x)0得112b0，解得b.即b的取值范围为.(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)0，31b0，得b2.令f(x)0，得x或x1，fc，f(1)c.又f(1)c，f(2)2c.f(x)maxf(2)2c，由f(x)c2在x1,2上恒成立，得2c0.解得c2或c0，当x时，f(x)0，因此x1，x2分别为f(x)的极大值点、极小值点(2)由(1)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点需54f()a1，所以kx2x5在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函数的性质得

15、g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范围是为(，3法二：直线yk(x1)过定点(1,0)且f(1)0，曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f(1)3，由(2)中草图知要使x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立需k3.故实数k的取值范围为(，3对点训练8设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，)上仅有一个零点解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)x.因为k0，所以令f(x)0得x，列表如下：x(0，)(，)f(x)0f(x) 极小值 减区间为(0，)，增区间为(，)当x时，取得极

16、小值f().(2)当1，即00，所以f(x)在区间(1，)上没有零点当1，即1k0，f0，f0，此时函数没有零点当，即ke时，f(x)在上单调递减，f(1)0，f()0，函数为增函数；当y时，S0，函数为减函数当y时，S有最大值这时|PQ|2y2，|PN|4y242.游乐园的最大面积为Smax(km2)对点训练9某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端桥墩相距m米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数

17、关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256(0xm)(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值，此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小.由定积分求曲边梯形面积的方法步骤：(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标(3)确定积分区间与被积函数

18、，转化为定积分计算(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和典例10求由曲线y2x，yx3所围图形的面积S.解：作出曲线y2x，yx3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为Sdxx3dxxx4.对点训练10试求由抛物线yx21与直线yx7以及x轴、y轴所围成图形的面积解：画出图形(如图)解方程组得即抛物线与直线相交于点(2,5)于是所求面积为S(x21)dx(7x)dx.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)，则f(e)()A. B

19、. C D解析：选Df(x)，f(e).2若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0 B2 C1 D1解析：选Af(x)x3f(1)x2x，f(x)x22f(1)x1，f(1)12f(1)1，f(1)0.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay，ky|x12，切线方程为：y12(x1)，即y2x1.4已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时单调递增，所以x0; g(x)为偶函数且x0时单调递增

20、，所以x0时单调递减，g(x)1，b1.7已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)解析：选B由题知，x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数yln x1与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0.设函数yln x1上任一点(x0,1ln x0)处的切线为l，则kly|xx0，当l过坐标原点时，x01，令2a1a，结合图象知0a.8方程2x36x270在(0,2)内根的个数为()A0 B1 C2 D3解析：选B设f(x)2x36x27，则f(x)6x212x6x

21、(x2)x(0,2)，f(x)f(x)，则当ab时，下列不等式成立的是()Aeaf(a)ebf(b) Bebf(a)eaf(b)Cebf(b)eaf(a) Deaf(b)ebf(a)解析：选Db，ebf(a)11设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析：选A当x0时，令F(x)，则F(x)0时，F(x)为减函数f(x)为奇函数，且由f(1)0，得f(1)0，故F(1)0.在区间(0,1)上，F(x)0；在(1，)上，F(x)0.即当0

22、x0；当x1时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0的解集为(，1)(0,1)12若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()AfCf，解析：选C构造函数F(x)f(x)kx，则F(x)f(x)k0，函数F(x)在R上为单调递增函数0，FF(0)F(0)f(0)1，f1，即f1，f，故C错误二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y2ax及导数的几何意义得y|x12a

23、10，解得a.答案：14一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t(v单位：m/s，t单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为_解析：停车时v(t)0，则270.9t0，t30 s，sv(t)dt(270.9t)dt(27t0.45t2)405(m)答案：405 m15已知a0，函数f(x)ax3ln x，且f(1)的最小值是12，则实数a的值为_解析：f(x)3ax2，则f(1)3a.a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f(x)axb2b，当且仅当ax1时等号成立，即当x时，f(x)取最小值为2b.法二：f(x)的导数f(x)a，当x时，f(x)0，f(x)在上单调递增；当0x时，f(x)0，即(x22)ex0，注意到ex0，所以x220，解得x0，因此x2(a2)xa0在(1,1)上恒成立，也就是ax1在(1,1)上恒成立设yx1，则y10，即yx1在(1,1)上单调递增，则y0)f(x)x2.由f(x)0，得x1或x2.当f(x)0时，1x2；当f(x)0时，0x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x