高中数学 考点16 正弦定理和余弦定理（含2017年高考试题）新人教A版

1、考点16 正弦定理和余弦定理1、 选择题1.(2017全国乙卷文科T11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C. D.【命题意图】本题主要考查三角公式的应用,重点考查正弦定理在解决三角形问题中的应用.【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=sinCsin=0,所以A=.由正弦定理=得=,即sinC=,得C=,故选B.【反思总结】在解有关三角形的题目时,要有意

2、识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.2.(2017山东高考理科T9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【命题意图】本题考查三角恒等变换及正弦定理的应用,意在考查考生对数学式子的变形能力与运算推理能力.【解析】选A

3、.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC,即sinAcosC=2sinBcosC,由于ABC为锐角三角形,所以cosC0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b.二、填空题3.(2017全国丙卷文科T15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.【命题意图】本题考查正弦定理,考查学生运算求解的能力.【解析】由题意:=,即sinB=,结合bc可得B=45,则A=180-B-C=75.答案:754.(2017全国甲卷文T16)ABC的内角

4、A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.【命题意图】正弦定理和三角恒等变换,意在考查学生的转化和化归能力及运算求解能力.【解析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,又因为0B,所以B=.答案: 【方法技巧】有关解三角形的问题(1)此题型为高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题.(2)解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”.三、解答题5.(2017北京高考理科T15)在ABC中,A=60,c

5、=a.(1)求sinC的值.(2)若a=7,求ABC的面积.【命题意图】本题主要考查解三角形的内容,意在培养学生的计算能力与分析图形的能力.【解析】(1)根据正弦定理=,所以sinC=sin60=.(2)当a=7时,c=a=3,因为sinC=,cb,a=5,c=6,sinB=.(1)求b和sinA的值.(2)求sin的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)ABC中,ab,sinB=,所以cosB=,由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=13,所以,b=,由正弦定理得,sinA=.(2)由(1)知sinA=,又ac,c

6、osA=,sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1-2sin2A=-,所以,sin=sin2Acos+cos2Asin=.【误区警示】在上述解题过程中,若忽略了大边对大角这一性质,就会出现角A、角B的余弦值为负值的情况,从而导致错误的结果.10.(2017天津高考理科T15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac= (a2-b2-c2).(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及=,得a=2b.由

7、ac= (a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=-.(2)由(1)可得sinA=,代入asinA=4bsinB,得sinB=.由(1)知,A为钝角,所以cosB=,于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=-=-.11.(2017山东高考文科T17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.【命题意图】本题考查向量的数量积公式、三角形面积公式和余弦定理的应用,意在考查考生的转化与化归的能力和运算求解能力.【解析】因为=-6,所以bccosA=-6,又SABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0A,所以A=,又b=3,所以c=2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-232=29,所以a=.12.(2017浙江高考T14)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.【命题意图】本题主要考查三角函