高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法学案（含解析）新人教A版必修1

1、12.2函数的表示法 第一课时函数的表示法函数的表示法提出问题(1)如图是我国人口出生率变化曲线： (2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题1：实例(1)中的图能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，自变量是什么？提示：能表示出生率是年份的函数，其中年份为自变量问题2：实例(2)中的表格能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，定义域是什么？值域是什么？提示：能表示浓度是距离的函数其中，定义域为50,100,200,300,500，值域为0.678,0.398,0.121,0.05,0

2、.01问题3：实例中的函数关系能否用解析式表示？提示：不能并不是所有的函数都有解析式导入新知化解疑难三种表示方法的优、缺点比较优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大函数的表示方法例1(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，

3、横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x)f(3)的x的值为_x123f(x)231解析(1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又因纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.(2)由表格可知f(3)1，故f(f(x)f(3)，即f(f(x)1.f(x)1或f(x)2，x3或1.答案(1)D(2)3或1类题通法理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是

4、否满足函数的定义(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主活学活用1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()解析：选A由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大保持匀速由大变小速度由小变大时，路程曲线上升得越来越快，曲线显得陡峭；匀速行驶中路程曲线上升速度不变；速度由大变小时，路程曲线上升得越来越慢，曲线显得平缓2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321(1)f(g(1)_；(2)若g(f(x)2，则x_.解析：(

5、1)由表知g(1)3，f(g(1)f(3)1.(2)由表知g(2)2，又因g(f(x)2，得f(x)2，再由表知x1.答案：(1)1(2)1函数图象的作法及应用例2作出下列函数的图象并求出其值域(1)y2x1，x0,2；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2,2解(1)列表：x012y12345当x0,2时，图象是直线y2x1的一部分，观察图象可知，其值域为1,5(2)列表：x2345y1当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1(3)列表：x21012y01038画图象，图象是抛物线yx22x在2x2之间的部分由图可得函数的值域是1,8类题通法1作函数图象的

6、三个步骤(1)列表先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来(2)描点把第(1)步表格中的点(x，f(x)一一在坐标平面上描出来(3)连线用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来注意所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键处的点2常见函数图象的画法技巧(1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得；(2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即得活学活用作出下列函数图象：(1)y1x(xZ且|x|2)；(2)y2x24x3(0x3)解：(1)xZ且|x|2，x2，1,0,1,2所以图象为一直线上的

7、孤立点(如图)(2)y2(x1)25，当x0时，y3；当x3时，y3；当x1时，y5.所画函数图象如图.典例(1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x)4x8，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)的解析式解(1)设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又f(f(x)4x8，a2xabb4x8，即解得或f(x)2x或f(x)2x8.(2)设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)1，c1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.整理得2ax(ab)2x.由恒等

8、式性质知上式中对应项系数相等，解得a1，b1，f(x)x2x1.多维探究上例为“已知函数的类型，求函数的解析式”的问题解决此类问题的方法是待定系数法，即引入参数设出函数的解析式，然后利用条件确定所设的参数的具体值，即可求出其结果对于函数解析式的求解还有如下几种类型，应注意掌握1已知f(x)的解析式，求f(g(x)的解析式解决此类问题的方法为“直接代入法”直接代入法主要解决已知f(x)的解析式，求f(g(x)的解析式的问题，其解法为用g(x)替换f(x)解析式中的所有自变量x.例：已知f(x)2x21，求f(1)的解析式解：因为f(x)2x21，所以f(1)2(1)212x43.2已知f(g(x

9、)的解析式，求f(x)的解析式解决此类问题常见的方法有“整体代入法”和“换元法”“整体代入法”是把g(x)视为一个整体，将f(g(x)的解析式转化为含g(x)的表达式，然后直接整体代换g(x)，即可求出解析式，此种方法不必求出x，可以减少运算量“换元法”是通过引入参数t进行式子的变形，从而得到f(x)的表达式，这是解此类型题的通法例：求下列函数的解析式：(1)已知f，求f(x)；(2)已知f(1)x2，求f(x)解：(1)法一：(换元法)令t1，得x，则t1.把x代入f，得f(t)(t1)21(t1)t2t1.所求函数的解析式为f(x)x2x1，x(，1)(1，)法二：(配凑法)f221，f(

10、x)x2x1.又11，所求函数的解析式为f(x)x2x1(x1)(2)法一：(换元法)令1t(t1)，则x(t1)2，f(t)(t1)22t21.f(x)x21(x1)法二：(配凑法)x2(1)21，f(1)(1)21.又11，f(x)x21(x1)3已知的式子中含有f(x)，f或f(x)，f(x)形式的函数，求f(x)的解析式解决此类问题的方法为“方程组法”，即用x替换x，或用替换x，组成方程组进行求解例：(1)已知af(x)f(x)bx，其中a1，求f(x)； (2)已知f(x)2f3x2，求f(x)解：(1)在原式中以x替换x，得af(x)f(x)bx，于是得消去f(x)，得f(x).故

11、f(x)的解析式为f(x)x.(2)在原式中用替换x，得f2f(x)2，于是有消去f，得f(x)x2.随堂即时演练1“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图中的s_t函数图象与故事情节相吻合的是()解析：选B由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B.2.函数yf(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()ARB(，1)(1，)C(，0)(0，)D(1,0)解析：选C由题图知x

12、0，即x(，0)(0，)3如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3)的值等于_解析：据题图知f(3)1，f(f(3)f(1)2.答案：24已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)6x4，则f(x)_.解析：设f(x)kxb(k0)，则3f(x1)3k(x1)b3kx3k3b6x4，所以解得所以f(x)2x.答案：2x5(1)已知函数f(x)x2，求f(x1)；(2)已知函数f(x1)x2，求f(x)解：(1)f(x1)(x1)2x22x1.(2)法一(配凑法)：因为f(x1)x2(x1)22(x1)1，所以f(x)x2

13、2x1.法二(换元法)：令tx1，则xt1，可得f(t)(t1)2t22t1，即f(x)x22x1.课时达标检测一、选择题1设f(x)2x3，g(x)f(x2)，则g(x)等于()A2x1B2x1C2x3 D2x7解析：选Bf(x)2x3，f(x2)2(x2)32x1，即g(x)2x1，故选B.2如图所示的四个容器高度都相同将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选A对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确，选A.3观察下表：x321123f(x

14、)411335g(x)142324则f(g(3)f(1)()A3 B4C3 D5解析：选B由题表知，g(3)f(1)4(1)3，f(g(3)f(1)f(3)4.4已知x0，函数f(x)满足fx2，则f(x)的表达式为()Af(x)x Bf(x)x22Cf(x)x2 Df(x)2解析：选Bfx222，f(x)x22.5已知函数f(x)满足f(ab)f(a)f(b)，且f(2)p，f(3)q，那么f(12)()Apq B2pqCp2q Dp2q解析：选B由f(ab)f(a)f(b)，f(12)f(4)f(3)2f(2)f(3)2pq.二、填空题6已知函数f(x)x，且此函数图象过点(5,4)，则实

15、数m的值为_解析：将点(5,4)代入f(x)x，得m5.答案：57若f(x)f(x)2x(xR)，则f(2)_.解析：由得相加得f(2)4，f(2).答案：8某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为_kg.解析：设一次函数解析式为yaxb(a0)，代入点(30,330)与点(40,630)，得解得即y30x570，若要免费，则y0，x19.答案：19三、解答题9已知f(x4)f(x1)x22x，其中f(x)是二次函数，求函数f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x4)f(x1)a(x4

16、)2b(x4)ca(x1)2b(x1)cx22x.整理得2ax2(6a2b)x(17a3b2c)x22x.解得f(x)x2x.10.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域解：由题意可知该盒子的底面是边长为(a2x)的正方形，高为x，此盒子的体积V(a2x)2xx(a2x)2，其中自变量x应满足即0x.此盒子的体积V以x为自变量的函数式为Vx(a2x)2，定义域为.11设二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，对于xR恒成立，且f(x)0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对称于是，设f(x)a(x2)2k(a0)， 则由f(0)3，可得k34a，f(x)a(x2)234aax24ax3.ax24ax30的两实数根的平方和为10，10xx(x1x2)22x1x216，a1，f(x)x24x3.12某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为yax