上海交通大学高等数学复习提纲

1、 上海交通大学高等数学复习提纲 第一章 函 数1.会证明一般难度的不等式，并运用一些证明不等式的方法2.函数的界与数列的界的联系和区别（联系第二章）3.复合函数的函数值计算、单调性等4.单射和满射的定义与性质5.奇函数、偶函数的图像与性质，周期函数的定义与性质6.反三角函数的图像与性质7.双纽线、心脏线等的画法，图像性质，为积分应用求面积体积打好基础 第二章 极限与连续（这一章最为琐碎，多耐心）1. 数列的有界无界的定义，怎么证数列的单调性，怎么证明数列的有界无界2. 数列极限的定义（这同样也是证明一个数是数列的极限的根据；注意数列极限的几何意义）3. 证明一个数是数列的极限的方法4. 无穷大

2、与无穷小的含义5. 会求以下类型数列的极限 1）分子、分母为多项式 2）分子、分母含根式（很重要） 3）分子、分母含指数式 4）能够转化为（1+1/n）n的极限 5）会用夹逼定理求极限（很重要） 6）单调有界数列求极限的方法甚至是综合题，可参考习题集（较重要，有难度） 7）用定积分的定义来求极限的方法（考得比较多，方法比较死，但不容易想到）6. 为了达到会求极限的目标，要注意以下求和公式 并且掌握常见的求数列前n项和的方法7. 函数在一点和无穷远处极限的定义和相应的证明方法8. 了解一下Heine定理，如果有问题请回看子数列与数列的关系与性质9. 函数极限的几个常见性质，尤其是定性性质要有个感

3、觉10. 重要函数极限及其转化应用 lim(sinx/x)=1; lim(1+1/x)x=e; x0 x11. 无穷小、三类无穷小、正反求阶数、标准无穷小等概念和方法（重要）12. 等价无穷小，会用它求函数极限（很重要，包括简单变形、平移和本质相同的式子的等 价无穷小），等价无穷小的替换原则和规律要认真体会，要耐心13. 函数极限的运算法则，会求函数极限（这一句话意味着要做大量的题和总结，类型要全）14. 函数连续性的定义，函数连续与函数极限的关系，几类间断点及特征，罕见的类型记住 典型案例15. 连续函数求某点极限与该函数在该点函数值的关系，极限号可穿函数号等性质16. 从定义和几何特征上体

4、会一下有界性定理、最值定理、介值定理，看一下典型应用方法， 适当操练操练，注意构造辅助函数的方法的出现第2章 的内容一定要耐心，细节比较多，理解比较多 第三章 导数与微分1. 导数的定义，可导的条件，可导与连续的关系2. 微分、线性主部的定义（不妨从几何上看看，以直代曲P108），可导与可微的关系3. 理解增量公式，会用增量公式求近似值，会用它估计误差(二者考得少，但是要会）4. 背住导数表和微分表5. 会求导数、会求微分（这两者比较简单），会准确地求复合函数的导数与微分； 理解复合函数求导法则的来源；掌握一些求导类型与方法；反函数求导方法的推导与理解， 会求反函数的导数。（重要）6. 会求隐

5、函数和参数方程的导数。（重要） 备注5&6:一定要理解为什么要那样求，然后就是大量地做题总结，类型要全7. 导数应用理论上可以忽略8. 掌握Leibniz高阶导数求导公式9. 隐函数与参数方程的高阶导数（二阶很重要），隐二者必须至少掌握到二阶，更高阶需要 看一看 第四章 微分中值定理与导数应用1. 把Fermat定理、Darboux定理、Rolle定理、Lagrange定理Cauchy定理挨着个儿看一遍； 重点关注Rolle定理和Lagrange定理；2. 会用Lhospital法则与等价无穷小替换等方法结合来求极限（重要，练习）3. 理解Taylor展开的原理，背住Taylor公式带Pean

6、o余项的展开公式，Lagrange余项根据自 己的情况4. 背住ex、sinx、ln（1+x）的Maclaurin公式，其它常见的至少要能够推导； 能够用Taylor展开求极限和解决无穷小的问题（重要）5. 会研究函数性态（重要） 1）明确函数性态包含的方面 2）掌握凸性与拐点与二阶导数值的关系 3）会求水平、垂直渐近线，背住斜渐近线的求法公式，而且会求 4）会全面的画性态示意图6. 从定义和几何上理解曲率和曲率半径，尽量记住公式，记不住要会推导（考得少，不过考 得简单，所以记住公式，志在必得）7. 求近似解理论上可以忽略 第五章 积分（要点少，功夫不能少）1. 定积分的定义及其在求数列极限中

7、的作用，定积分的几何意义；2. 特殊的不可积例子；3. 时间不充足可以忽略可积条件这一点4. 了解定积分的性质，重点关注绝对值不等式、积分中值定理及其几何意义5. 变上限积分和变上限积分的导数（重要）6. 背积分表7. 会求不定积分 1）凑微分法的原理和用法 2）第二换元法的原理和用法（此处一定要会用辅助三角形） 3）第二换元法的特例倒置法的应用 4）分部积分法 5）简单有理函数积分法 6）三角函数有理式积分（注意合理使用万能代换） 7）简单无理函数积分 备注:一定要总结各种类型积分的结构特点，积分只有靠多观察多练8. 明白不定积分与定积分求法的不同之处，学会换元积分9. 会在定积分中（注意是

8、定积分）用奇函数、偶函数的对称性；会用一系列三角函数积分变 换的公式（P248）；会用wallis公式（重要）；10. 注意一下P289的33题的做法11. 会在函数、参数方程、极坐标方程的情形下或者转化后求面积、体积、弧长；（重要） 重点要关注为什么那样求，关注薄壳法，记住重要的公式；12. 会求无穷区间和无界函数的反常积分，一定要明白存在反常积分的条件（重要） 第六章 微分方程这一章用另一种方式来说明：首先搞清楚什么是微分方程、n阶微分方程、一阶线性微分方程等等；然后梳理出一个清单，内容是我们需要解决的微分方程的类型和解法，写完清单的同时必须要理解并记住这种解法，其中记住的要求就是把握这种类型的结构特征；此外有这样一些点需要注意：1. 避免y永远是x的函数的定势思维，灵活求解；2. 记住诸如Liouville公式等重要公式3. 一定要在理解一类微分方程的解法的基础上再去解微分方程4. 最后两节理论上可以忽略；5. 做题和总结很重要； 第七章 向量代数与空间解析几何1. 会用定比分点公式2. 会单位化向量，掌握方向余弦、方向角的含义与求法3. 会求数量积4. 理解平面向量基本定理、空间向量基本定理并会使用5. 区分投影向量、投影，会求会表示6. 会求向量的外积，包括阶乘求法和几何求法，了解向量外积的几何意义（方向与大小）7. 了解混合积的含义，会求混合积8.