[第16讲]解析几何综合（上）

1、第6讲直线与圆满分晋级解析几何 17级重要知识点解析几何 15 级圆锥曲线探究性问题知识网络解析几何 16 级直线与圆圆锥曲线知识结构图1直线倾斜角a 的取值范围是，直线斜率 k 与倾斜角a 的关系式是 已知直线上两点 (x1，y1 )， (x2，y2 )(x1 x2 ) ，则直线斜率为2直线方程的五种形式：点斜式：已知斜率 k 和直线上一点 (x1，y1 )，直线的方程为斜截式：已知斜率 k 和直线的 y 轴截距 b ，直线的方程为；两点式：已知直线上两点 (x1，y1 )， (x2，y2 )(x1 x2 ) ，直线的方程为截距式：已知直线在 x，y 轴上的截距分别是 a，b (ab 0)

2、，直线的方程为；一般式：直线的一般式方程为之间只差一个比例系数3两条直线的位置关系：；一条直线的一般式方程有个；这些方程相互两条直线 A1x +B1y + 1 =0 与 A2x +B2 y +C 2 = ( A2BC 2 0) ，两者重合的充要条件是；两者平行的充要条件是；两者垂直的充要条件是；点到直线的距离：点 P (x 0，y 0 ) 到直线 Ax +By +C =0 的距离是；两条平行直线之间的距离：两条平行直线 Ax +By +C 1 =0 与 Ax +By +C2 =0 的距离是4圆方程的两种形式：圆的标准方程：以 (a，b ) 为圆心，半径为 r 的圆的标准方程是；圆的一般方程：圆

3、的一般方程是；其表示的圆的圆心是；半径是5直线与圆的位置关系：圆 C 的半径为 r ，圆心到直线 l 的距离为 d ，则 d r1 +r2 表示两圆；_表示两圆外切；表示两圆相交；表示两圆内切；表示两圆内含；6 当 B 0 时， Ax +By +C 0 所 表 示 的 平 面 区 域是直 线 Ax +By +C =0 的 _半部 分 ；Ax +By +C 0 所表示的平面区域是其 _半部分；反之，当 B 0 表示的平面区域是直线 Ax +By +C =0 的_半部分； Ax +By +C 0 所表示的平面区域是其_半部分一轮复习（下）第 6 讲提高-尖子-目标教师版1a2 ；C 0 2考点剖析

4、考点 1：直线的倾斜角与斜率；考点 2：直线的各种方程；考点 3：直线位置关系；考点 4：圆的方程；考点 5：直线与圆、圆与圆的位置关系；考点 6：线性规划经典精讲直线的基本量：直线的倾斜角（斜率）、截距、直线上的点等等都属于直线的基本量的范畴，一般来说，知道直线的两个基本量就可以确定一条直线求直线的方程时，应根据所给的基本量信息，选取合适的形式直线的五种形式里面，点斜式、斜截式、两点式都涉及到直线的斜率；使用这些形式时，一定要注意讨论直线的斜率是否存在；截距式里面涉及到截距，使用时要注意讨论截距是否为 0；一般式中，则要注意讨论 x项与 y项系数是否为 0【例1】 （直线的基本量） 求直线

5、x -y sinq-1 =0 的倾斜角的范围 过点 P(2，-1) 的直线 l 与以 A(4 ，2) 和 B(0，4) 为端点的线段有公共点，求直线 l 的斜率范围 如果直线 Ax +By +C =0 在第一、二、四象限，则（）A AC 0 ， BC 0B AC 0C AC 0， BC 0 ， BC 0 直线 l 过点 M (2，1)且分别交 x 、 y 轴于 A 、 B 点， O 为坐标原点，求直线方程： M 为 AB 中点； OA =OB ； A ，B 在 x、 y 轴正方向， AOB 面积最小21sinq sin q -， ， k -，- U，+； 34 2 2 4 y 34 4 BCA

6、如图所示，l与线段 AB有公共点 C，则 PC夹在线段 PA、PB之间，也就是 PC的倾斜角在 PA和 PB的倾斜角之间23 52 2一轮复习（下）第 6 讲提高-尖子-目标教师版OPx【解析】若 sin q=0，则直线的斜率不存在，直线方程为 x -1 =0，其倾斜角 a=；若 sin q0，直线的斜率为 k =：1 1 ( 1 1 ) a ， U ， 综合知倾斜角 a的取值范围为 a ， 注意到有 kPA =， kPB =-，当 l的倾斜角由 PA的倾斜角增大到时， l的斜率从232252 5 2 【点评】倾斜角与斜率的转化时一定要注意斜率的变化规律 C首先根据题意知 ABC 0，否则如其

7、中有一为零，则直线至多只经过两个象限；解法一（斜截式）：A CB B由直线经过一二四象限，所以斜率 k 0，即：AB0，CB0；由此得 A，B同号但 B ，C异号，结合选项知正确选项为 C解法二（截距式）：把直线方程写成截距式：x yC CA B=1，由直线经过一二四象限知， x轴截距与 y轴截距均为正，所以CA0，CB0；由此得 AC 0， BC 0， y轴截距 b =OB 0，要求 S AOB = ab的最小值；+ =1，代入 M点坐标： + =1；2 1 2a b ab ab 8 S AOB 4等号当且仅当2 1 1a b 2 l的方程为x y4 2直线的位置关系：平面上的两条直线，位置

8、关系只有三种：重合、平行、相交，其中垂直是相交的特殊情形设直线 l1的方程为 A1x +B1 y +C1 =0， l2的方程为 A2 x +B2 y +C2 =0，则： l1与 l2重合 A1B2 -B1 A2 =0且 B1C2 -C1 B2 =0；如果 l2的系数均不为 0可以写成：A1 B1 C1A2 B2 C2； l1与 l2平行 A1B2 -B1 A2 =0且 B1C2 -C1 B2 0；如果 l2的系数均不为 0可以写成：A1A2B CB2 C2 l1与 l2相交 A1B2 -B1 A2 0； l1与 l2垂直 A1 A2 +B1B2 =0当然，这些充要条件也可以换用斜率 k表示，但

9、 k不存在的情形需要单独讨论点到直线的距离公式与平行直线的距离公式：点 P(x0 ，y 0 )到直线 Ax +By +C =0的距离d =Ax0 +By0 +CA2 +B2；两平行直线 Ax +By +C1 =0与 Ax +By +C2 =0之间的距离C -C 2A +B点关于直线的对称点：点 P(x0 ，y 0 )关于直线 Ax +By +C =0的对称点 Q(x ，y)可以通过解) +B( y +y来求出，第一个方程代表 PQ与对称轴垂直，第二个方程代表 PQ的中点在对称轴上对于几个特殊情形可以单独总结： P(x0 ，y0 )关于 x轴的对称点是 Q( x0 ，-y0 )，关于 y轴的对称

10、点是 Q(- 0 ，y0 )，关于原点 O的对称点是 Q(- 0 ，-y0 )； P(x0 ，y0 )关于直线 y =x的对称点是 Q( y0 ，x0 )，关于 y =-的对称点是 Q(- 0 ，- 0 )【例2】 （直线的位置关系） 直 线 2x -y -1 =0 绕 (1，1) 顺 时 针 旋 转 90， 再 向 上 平 移 1 个 单 位 ， 所 得 到 的 直 线 为（）A x -2 y -1 =0B x -2 y -5 =0C x +2 y -1 =0D x +2 y -5 =0 已知三条直线 l1 ， 2 ， 3 的方程分别为： 4x +y = ， mx +y =0 ， 2x +

11、my = 试问 m为何值时，三条直线能构成三角形的三边？能构成直角三角形的三边？ 已知直线 l : x +2 y -2 =0 ，求与直线 l 平行且距离等于2 55的直线方程 两条直线 y =kx +2k +1和 x +2 y -4 =0的交点在第四象限，则 k 的取值范围是 DABC 中 ，点 A 的坐标为 (-2 ，2) ，点 B 的坐标为 (-4 ，-2) ， A 的角平分线恰好经过原点，则边 AC 所在的方程为4一轮复习（下）第 6 讲提高-尖子-目标教师版1 = + 2= =即 a =4 ，b =2时成立，+ =1，即 x +2 y -4 =0时， S AOB有最小值为 4= 1 1

12、；d = 12 2 ( y -y0 ) =B( x -x0 )A( x +x0 0 ) +2C =0方程组 xxx y xl l 4 3 4【解析】 D直线 2x -y -1 =0的斜率为 k1 =2；12121 12 212化简得 x +2 y -5 =0，选 D 两条直线要么相交要么平行要么重合，三条直线能构成三角形的三边等价于三条直线两两相交，且不交于同一点；三条直线不能构成三角形的三边等价于存在两条直线平行或重合，或三条直线交于同一点；若 l1与 l2平行或重合 m 14 1若 l2与 l3平行或重合 m m -2 =0， m =63；若 l3与 l1平行或重合 2 3m4 1164x

13、 +y =4除了这些之外，还要防止三条直线交于一点，解方程组 得 l1和 l2的交点为 4 -m 4 -m 2 程无解，所以这三条直线不会交于同一点1 66 3时，三条直线能构成三角形的三边三条直线能够成直角三角形的三边，除了三条直线构成三角形以外，还必须有两条直线垂直14若 l2 l3 2m +3m =0， m =0；831 66 3的先决条件，1 84 3设直线方程为 x +2 y +m =0，则m +252 55，解得 m =0或 m =-4，所求直线方程为 x +2 y =0或 x +2 y -4 =0 1 1 2 6 解法一（常规法）：一轮复习（下）第 6 讲提高-尖子-目标教师版5

14、绕 (1，1)顺时针旋转 90之后所得的直线与原直线垂直，故斜率 k2 =-；所以旋转之后所得的直线为 y -1 =- (x -1)；再向上平移 1个单位之后所得的直线为 y -1 =- ( x -1) +1或 y -1 -1 =- (x -1)（注意不要错误理解成向上平移 1个单位为 y加 1，得到 y -1 +1 =- (x -1)）=， m =4；3 1=， m =；mx +y =04 -m ，4 -m ，其在 l3上需要 2 4 -m +3m 4 -m =4，整理得 3m -m +2 =0，该方4 4所以，当 m 4 ， ，若 l1 2l 4m +1 =0， m =-；若 l3 1l

15、8 +3m =0， m =-；这些值都满足 m 4， ， m =0 ，- ，-时能构成直角三角形的三边= - ，- x2 -4k 6k + ，因为交点在第四象限，所以2 -4k2k +10且6k +12k +1 1 1 2 6 解法二（数形结合）：如图所示， y =kx +2k +1的方程可以写成 y =k( x +2) +1，它表示的是经过定点 P(-2 ，1)，斜率为 k的直线；而x +2 y -4 =0则是经过定点 A(4，0)和 B(0，2)的直线； POPyB是过点 P且与 BA平行的直线由于两者的交点在第四象限，所以交点在 BA的延长线上，OMAQx设为 Q，连接 PQ交 x轴于

16、M则两条直线交于第四象限 Q在 BA延长线上 M在 OA之间 PQ的倾斜角在 PA与 PO的倾斜角之间 PQ的斜率在 PA与 PO的斜率之间；1 16 21 12 61 16 2用数形结合时容易遗漏的，需要特别注意 x -2 y +6 =0 A的角平分线经过原点， A的角平分线所在直线方程是 x +y =0；AB的斜率是 2，方程是 y =2x +6又 AC和 AB关于 A的角平分线对称，求 AC的方程即求 y =2 x +6关于 x +y =0的对称直线 (x0 ，y0 )关于 x +y =0的对称点是 (-y0 ，-x0 )， y =2 x +关于 x +y =0的对称直线是 - =2 -

17、 ) +6，即 x -2 y +6 =0【拓 2】（2009 全国文 16）若直线 m 被两平行线 l1 : x -y +1 =0 与 l2 : x -y +3 =0 所截得的线段的长为 2 2 ，则 m 的倾斜角可以是 15o 30o 45o 60o 75o其中正确答案的序号是【解析】或（写出所有正确答案的序号）两条平行直线 l1与 l2之间距离为22= 2，所以 m与 l1夹角为 30，又 l1的倾斜角为 45，所以 m的倾斜角为15或 75圆的方程：标准形式 (x -a)2 +( y -b)2 =r 2，表示圆心为 (a ，b)，半径为 r的圆；一般形式 D E 2 2 12D2 +E

18、2 -4F的圆实际应用中，主要是设圆的标准形式，较少设圆的一般形式；一般形式多为逆用，根据一般形式反过来写圆心和半径6一轮复习（下）第 6 讲提高-尖子-目标教师版y =kx +2k +1因为两条直线有交点，联立两者的方程 y =2 -，求得交点坐标为 2k +1 2k +1 2 10，最后解得 k的取值范围是 - ，- kPA =-， kPO BA =-，=k - k -【点评】当 Q趋向于无穷远时， PQ趋向于 BA的平行线 PO，所以不光有 k -，这是使6 x ( yx2 +y2 +Dx +Ey +F =0，当 D2 +E 2 -4F 0时表示圆心为 - ，- ，半径为【例3】 （圆的

19、方程） 求过点 A(1，1) ， B(-3 ，5) ，且圆心在直线 2x +y +2 =0 上的圆的方程； 求圆心在直线 4x +y =0 上，且与直线 l : x +y -1 =0 切于点 P(3 ，-2) 的圆的方程； 已知实数 x ， y 满足方程 x2 +y2 -4x +1 =0 ，求 x2 +y 2 +2x 的最大值和最小值【解析】直线 AB的斜率为 -1， AB的中点为 (-1，3)， AB的垂直平分线斜率为1，其方程为 y -3 =x +1；x -y +4 =0圆心满足 ，解得圆心坐标为 C (-2 ，2)r =CA = 10，所求圆的方程为 (x +2)2 +( y -2)2

20、=10过 P(3 ，-2)与直线 l : x +y -1 =0垂直的直线方程为 y +2 =x -3，即 x -y -5 =0，与4x +y =0联立解得圆心坐标为 C (1，-4)，r =CP = 8，所求圆的方程为 (x -1)2 +( y +4)2 =8解法一（数形结合）：如图所示，圆 C：x2 +y2 -4x +1 =0是圆心在 C (2，0)，半径为3的圆， (x ，y)是 C上的点，x2 +y2 +2x =( x +1)2 +y2 -1，求其最值即求 C上的点到P(-1，0)的距离最值；y（或者设 x2 +y2 +2x =t，变形成 ( x +1) 2 +y 2 =t +1，于是圆

21、心P O ACB x在 P(-1，0)半径为 t +1的圆与圆 C有公共点，求半径的最值）由图知，当 (x ，y)是 PC与圆 C的交点 A时，其到点 P的距离最短，当 (x ，y)是 PC的延长线与圆 C的交点 B时，其到 P的距离最大22解法二（换元法）：x2 +y2 -4x +1 =0可以变形成：( x -2)2 +y2 =3，所以可设 x =2 + 3 cos q，y = 3 sinq，其中 q，2；于是 x2 +y2 +2x =4x -1 +2x =6x -1 =11+6 3 cosq， (x2 +y2 +2x)min =11 -6 3， (x2 +y 2 +2x)max =11 +

22、6 3【点评】换元法简洁，数形结合则抓住问题的实质无论采取哪种方法，圆的方程既要会正用，也要会逆用，标准形式和一般形式都要掌握直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系分三种：相离、相切、相交；由圆心到直线的距离 d和半径 r的大小关系决定：d r 圆与直线相离；d =r 则圆与直线相切；d 1 +2 两圆外离；d = 1 +2 两圆外切；r1 -2 1 + 2 两圆相交；d =r1 -r2 两圆内切；d 0) 上一动点， PA， PB是圆 C : x2 +y2 -2 y =0 的两条切线， A ， B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为（）A3B212C 2 2D2 （

23、2010 全国理 11） 已知圆 O 的半径为 1， PA，PB 为该圆的两条切线， A，B 为两切点，那么 PA PB 的最小值为（ ）【解析】A -4 + 225B -3 + 2C -4 +2 2D -3 +2 24注意到点 A在圆 O上，所以过点 A的切线方程可以直接写成：1x +2 y =5，由此得切线在两坐标轴上的截距分别是 5和521 5 252 2 4 (x -2)2 +( y -2)2 =28一轮复习（下）第 6 讲提高-尖子-目标教师版r rr rr d r ruu uuu urr，所以所求面积为 5 =如图所示， x2 +y2 -12x -12 y +54 =0是圆心在 C

24、(6，6)，半径为 3 2的圆，过圆心 C作 x +y -2 =0的垂线，垂足为H (1，1)，交圆周于 M (3 ，3)；yC设与这条直线和圆 C都相切的圆为 D，半径为 r，切点分别为 P ，Q，则 CD +DQ =2r +3 2 CQ CH =5 2， r 2；HDMDP等号成立当且仅当 D是 HM的中点；此时 D的坐标为OQxD(2 ，2)；所以所求圆的方程是 (x -2)2 +( y -2)2 =2 D圆 C是圆心为 (0，1)，半径 r =1的圆，设 PC =d，则：AyCS PACB =2SPAC =PA = d 2 -；POBx由于 PACB的面积最小为 2，故 d的最小值为

25、5；而 d的最小值即 C到直线的距离52，所以5k2 +1= 5， k =2 D如图所示，设 PO =d， APO =q，则： sin q=PA PB =PA PB cos APB =PA cos 2q=(d 2 -1)(1 -2sin 2 q) 2 1 d AO 1PO dPABO2d当 d 2 = 2时取到等号，所以选 D【点评】对于圆外一点引切线的问题，通常都把所求转化成关于圆心到直线的距离 d的表达式【拓 3】已知圆 C1 : (x -3 -cosq)2 +( y -4 -sinq)2 =1与 C2 : x 2 +y 2 =1，过圆 C1 上任意一点 P 分别作圆C2 的两条切线 PE

26、 、 PF ，切点 E 、 F ，求 PE PF 的取值范围 2 2 9 49 圆 C1是圆心为 C1 (3 +cosq，4 +sinq)，半径为1的圆，其圆心 C1yC1P又在圆 C3： (x -3)2 +( y -4)2 =1上设 PO =d，则PE PF =PE PF cos EPF =PE cos 2EPO2 2 2 21d这个式子在 d 2 (， 2时单减，当 d 2 (2 ，+)时单增所以求 PE PF的取值范围转化为求 d的取值范围EOFPC1C3x如图所示，当 C1是 OC3与圆 C3的交点、P是 OC1与圆 C1的交点时 OP最短；反之 C1在 OC3的一轮复习（下）第 6

27、讲提高-尖子-目标教师版9r 1k +1uu uu uuuu uu=，=(d 2 -1) - 2 =d 2 + 2 -3 2 2 -3，uu uuur ur【解析】 6 ，46uu uu uuuu uu=(d -1)(1 -2sin EPO)=(d 2 -1) - 2 =d 2 + 2 -3d uu uu0 )延长线上、 P在 OC1的延长线上时 OP最长；所以 3 =OC3 - d OC3 + =；6【点评】本题中 d的范围是一个极其容易出错的地方，学生往往忽视圆心 C1就是动的，或者往往把 P和 C1的坐标混为一谈【例5】 （相交问题） （2011 年上学期东城期末统考理 6）直线 ax

28、+by +a +b =0 与圆 x 2 +y 2 =2 的位置关系为（）A相交B相切C相离D相交或相切 （2011 年上学期东城期末统考文 4）直线 l 过点 (-4, 0) 且与圆 (x +1) 2 +( y -2) 2 =25 交于A, B 两点，如果 AB =8 ，那么直线 l 的方程为（）A 5x +12y +20 =0C 5x -12 y +20 =0B 5x -12y +20 =0 或 x +4 =0D 5x +12y +20 =0 或 x +4 =0 （2010 江西理 8）直线 y =kx +3 与圆 (x -3)2 +( y -2)2 =4 相交于 M ， N 两点，若MN

29、2 3 ，则 k 的取值范围是（） 3 4 3 4 ， 3 3 2 5 2 2面积等于 8，这样的点 M 有且仅有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【解析】 D解法一：圆心为原点 O，到直线距离 d =a +ba 2 +b 2（注意到 a ，b必定不同时为 0），半径为 r = 2；由均值不等式知 (a +b )2 2(a 2 +b 2 )，当 a =b时取到等号，所以 d r，选 D解法二： ax +by +a +b =0可以写成 a( x +1) +b( y +1) =0，ab而 (-1，-1)在圆周上，所以两者有公共点，要么相交要么相切 D圆心为 C (-1，2)，半径 r =5，设圆

30、心 C到 l的距离为 d，则 AB =2 r 2 -d 2；由 AB =8得 2 r 2 -d 2 =8，解得 d =3若 l的斜率不存在，则 l的方程是 x +4 =0，与 C的距离正好为 3，满足条件；若 l的斜率存在，设为 k，则 l的方程是 y =k( x +4)，与 C的距离 d =3k -2k 2 +1=3，解得5 512 12【点评】直线与圆相交时，弦长 l =2 r 2 -d 2，所以弦长和圆心到直线的距离 d密切相关另外本题不要漏解斜率不存在的情形10 一轮复习（下）第 6 讲提高-尖子-目标教师版uu uu 2 2 d 2 9 ，49， PE PF ，469 49 2 2

31、7A - ，0 B -，- U0，+)C - 3 3 -D ，0 直线 y =x -3 与圆 x +y -2x =15 相交于 P ，Q 两点，点 M 是圆上一点，且MPQ 的所以其是过定点 (-1，-1)，斜率为 -（若 b =0则斜率不存在）的直线；k =-，所以 l的方程为 y =- ( x +4)，化简即 5x +12 y +20 =0所以选 D A圆 (x -3)2 +( y -2)2 =4的圆心 (3，2)到直线 y =kx +3的距离 d =而 MN =2 r2 -d 2 2 3 d 1，3k +1k 2 +1， D3k +12 3 4 圆心为 C (1，0)，圆半径 r =4，

32、 C到 PQ的距离 d =22= 2；弦长 PQ =2 r 2 -d 2 =2 14， MPQ中 PQ边上的高 h =814； 0 h -d r， d +h 1，即 d 从而，若 l与圆 C相交，则圆 C截直线 l所得的弦所2pA ， 12 4 B ， 12 12 C ， D ， 2 6 2 2的两条直线与圆周至少有 3个交点；即其中与圆心距离为 d -2 2的直线有两个交点，与圆心距离为 d +2 2的直线至少有一个交点，故：d -2 2 r =3 2， d +2 2 r =3 2；所以 0 d 2解法一：2a +2b ad =2 2不等式两边平方化简： a 2 +4ab +b2 0 ，即

33、k 2 -4k +1 0，y解得 2 - 3 k 2 + 3，故选 B解法二：如图，若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为 2 2，则此时直线的倾斜角为15或 75，若圆上至少有三个不同的点到直线 l的距离为 2 2，则直线 l的倾斜角介于 15到 75之 52275O 2(2,2)215x【拓 3】（2011 年上学期丰台期末统考理 18）已知 O 为平面直角坐标系的原点，过点 M (-2,0) 的直线 l 与圆 x2 +y2 =1交于 P、Q 两点 若 OP OQ =- ，求直线 l 的方程；2 若 DOMP 与 DOPQ 的面积相等，求直线 l 的斜率【解析】依题意，直线 l的斜率存在，因为直线 l过点 M (-2,0)，可设直线 l： y =k( x +2)因为 P、Q两点在圆 x2 +y2 =1上，所以 OP =OQ =1，因为 OP OQ =-，所以 OP OQ =OP OQ cos POQ =-2 2所以 POQ =120，所以 O到直线 l的距离等于12所以2k2121515，所