不动点定理及其应用 - 西安交通大学苏州附属中学

1、不动点定理及其应用 西安交通大学苏州附属中学 蒋亚军摘 要：本文研究了不动点定理的一些典型问题的经典解法，并对不动点理论在高中数学中的应用作了一些探究。关键词：不动点；函数1 引言1912年，荷兰数学家布劳维证明，任意一个把维球体映入自己的连续映象（即拓扑变换）至少有一个不动点。这就是著名的拓扑不动点定理。我们知道，直线是一维空间，平面是二维空间，普通空间是三维空间，四维、五维以上至维空间就很抽象了，下面对一维球体做出一个有趣的例子。某学生进城早晨六点从家里出发，下午六点到达。第二天沿原路返回，早晨六点离城，下午六点到达。他对老师谈一上述经过。老师告诉他：“你知道吗？途中有一个地点，你昨天进城

2、和今天经过那个地方时，所用的时间完全相同。”学生说：“没有这么巧的事吧？我在路上走得时快时慢，有时还停下来休息、吃东西，两次经过某地的时间怎么会完全相同呢？”老师说：“不是不可能的，而是肯定有这一点，虽说我不知道它到底在哪里。”究竟谁是正确的呢？看起来，学生理由充足，振振有词；而老师既然“肯定”有这一点，又“知道”这点在哪里，似乎自相矛盾。其实，老师是正确的。道理很简单，设想进城和回家发生在同一天，学生离家出走，而学生的“替身”则同时离城回家（途中经过情况与学生回家完全相同）。那么两人必定路上相遇，进城和回家经过这相遇点的时间不是完全相同了吗？所以老师是正确的。这个有趣的问题给著名的“拓扑不动

3、定理”提供了一个极其生动简明的例证。我们对上面一维球体的例证再用数学模型建立起来研究一下，直观化一些，设甲同学从家里往学校走，乙同学从学校往甲同学的家里走，所走的路线是一样的，而且两人出发的时间都是早上6点，那么他们在某一时刻一定会相遇，这一点就是上面提及的不动点。用个图形来简单的描绘一下：甲同学 乙同学 理想化假设两人都是匀速行走的，那么设甲的速度为，乙的速度为，从学校到甲的家里的路程为，则两人相遇的时间为，从而得到式子，一旦速度确定了，这个不动点就肯定确定了，而且就是在距甲的家里的点处或者距学校的点处。上面谈到的学生进城路线便可以看成一维球体（拓扑学里的线不分曲、直）。如果进城经过点与回家

4、经过点的时间相同，我们就说点与点对应，这种对应关系显然是把此线段变换成了自己，即是把一维球体映入自己的连续映象，按照布劳维定理，这个变换至少有一个不动点，就是学生与“替身”相遇的地方。布劳维定理的严格证明是很抽象、艰深的。不动点定理问世以来，引起科学家的极大兴趣，它有着广泛而奇妙的应用。在数学中，很多问题的求解可以作为相应的不动点来处理。2 不动点定理在高中数学中的应用函数是贯穿在中学数学的一条主线，也是学好高等数学的基础，每年的高考对函数的问题的考察所占的比例都相当的大，可以说常考常新，其中涉及到函数的“不动点”问题，是高考命题的新动向。高中学生都知道，两个集合，如果按某种对应关系，使的任何

5、元素在中仅有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从到的单值对应，也叫映射或变换。如果是该变换下的一个不运动点，函数关系就是一个从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的一个变换，若，即通过变换后仍变为自己，就是函数的一个不动点。所以要找函数的不动点，只需找出满足关系的值就行了。假设，由，得，即，求得，所以有两个不动点：和，他们满足，例 对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点。（1）当时，求的不动点；（2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围。解：（1）当时，由

6、，解得，即的不动点是和。（2）由，得，此时方程有两个相异的实根，故该方程的判别式恒成立，即，这说明不等式对任意的恒成立，所以，解得（3）设，直线是线段的垂直平分线，所以，记的中点，由，知，因为在上，所以，化简得且当等号成立时，又因为，所以变换不一定限于数的对应关系。向量、矩阵、行列式、几何图形甚至时间和空间都可以作为元素进行变换。探索命题：设的不动点数目是有限多个，若是奇函数，则的不动点数目是奇数。证明 函数的不动点的个数就是函数与的图象交点的个数。先考虑特殊函数，如，和，显然与的图象有三个交点，与的图象有一个交点，可猜想是正确的。因为为奇函数，且，所以，即，因此，是的一个不动点。假设是的不动点，则由定义知。又因为为奇函数，所以。因此也是的不动点，显然，这表明的非不动点如果存在，则必成对。又根据题设只有有限个不动点，因此的不动点数目为奇数。那么偶函数的不动点是不是也是偶数个呢？我们先来看一个举例，是偶函数，看有多少个不动点，就是找与的交点的个数，很显然只有一个，所以偶函数的不动点不一定是偶数个。所举的例子的不动点有且只有一个。设是的不动点，则一方面，另一方面，由此得，因此有且只有一个不动点。所以不动点定理的应用相当广泛，且在很多问题的解决中更能反