高中数学 综合质量评估（含解析）新人教A版选修1-1

1、综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“若AB,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.0B.2C.3D.4【解析】选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有2个真命题.2.若在区间(a,b)内,f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有()A.f(x)0B.f(x)f(a)0.3.设命题p:xR,x2+10,则p为()A.x0R,+10B.x0R,+10C.x0R,+10)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线

2、的渐近线方程是()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选D.因为y2=8x焦点是(2,0),所以双曲线-y2=1的半焦距c=2,又虚半轴长b=1且a0,所以a=,所以双曲线的渐近线方程是y=x.【补偿训练】(2017邯郸高二检测)抛物线的准线方程为y=-4,则抛物线的标准方程为()A.x2=16yB.x2=8yC.y2=16xD.y2=8x【解析】选A.由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴,设抛物线标准方程为:x2=2py(p0),因为抛物线的准线方程为y=-4,所以-=-4,所以p=8,所以抛物线的标准方程为:x2=16y.5.设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直

3、线l:x+y-1=0上”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.“x=2且y=-1”满足方程x+y-1=0,故“x=2且y=-1”可推得“点P在直线l:x+y-1=0上”;但方程x+y-1=0有无数多个解,故“点P在直线l:x+y-1=0上”不能推得“x=2且y=-1”.故“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的充分不必要条件.6.设函数f(x)=x-lnx(x0),则y=f(x)()A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点D.在区间内有零点,在区间(1

4、,e)内无零点【解析】选C.由题意得f(x)=,令f(x)0,得x3;令f(x)0,得0x3;f(x)=0得x=3,故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+)上为增函数,在点x=3处有极小值1-ln30,f(e)=-10.故选C.7.已知命题p:“x1,2,x2-a0”,命题q:“x0R,+2ax0+2-a=0”.若命题“(p)q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.a-2或a=1B.a2或1a2C.a1D.-2a1【解析】选C.命题p为真时a1;“x0R,+2ax0+2-a=0”为真,即方程x2+2ax+2-a=0有实根,故=4a2-4(2-a)0,解得a1或a-2.(p

5、)q为真命题,即p真且q真,即a1.8.设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,若MF1F2=2MF2F1,则椭圆离心率为()A.B.2-C.D.-1【解析】选D.如图所示,直线y=(x+c)的斜率k=,所以倾斜角=60,因为MF1F2=2MF2F1,所以MF2F1=30,所以F1MF2=90,设=m,=n,则有解得e=-1.【补偿训练】设F1,F2是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=a上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则椭圆的离心率e为()A.B.C.D.【解析】选C.因为F2PF1是底角为30的等腰三角形

6、,所以=,因为P为直线x=a上一点,所以2=2c,所以椭圆的离心率为e=.9.已知f(x)=alnx+x2(a0),若对任意两个不等的正实数x1,x2都有2恒成立,则a的取值范围是()A.(-1,+)B.(2,+)C.1,+)D.(1,+)【解析】选C.因为f(x)=alnx+x2(a0),对任意两个不等的正实数x1,x2都有2恒成立,所以f(x)=+x2(x0)恒成立,所以a2x-x2恒成立,令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,则ag(x)max,因为g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1为开口方向向下,对称轴为x=1的抛物线,所以当x=1时,g(x)=2x-x2取得最大值g(1)

7、=1,所以a1.即a的取值范围是1,+).10.设O为坐标原点,F1,F2是-=1(a0,b0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足F1PF2=60,|OP|=a,则该双曲线的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.xy=0D.xy=0【解析】选D.如图所示,因为O是F1F2的中点,+=,所以(+)2=(2)2.即|2+|2+2|cos60=4|2.又因为|PO|=a,所以|2+|2+|=28a2.又由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,所以(|PF1|-|PF2|)2=4a2.即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2.由-得|PF1|PF2|=8a2,所以|PF1|

8、2+|PF2|2=20a2.在F1PF2中,由余弦定理得cos60=,所以8a2=20a2-4c2.即c2=3a2.又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2.即=2,=.所以双曲线的渐近线方程为xy=0.11.(2015全国卷)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.设g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g(x)=ex(2x+1),所以当x-时,g(x)-时,g(x)0,所以,当x=-时,g(x)min=-2.当x

9、=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a恒过点(1,0),且斜率为a,故-ag(0)=-1,且g(-1)=-3e-1-a-a,解得a0,所以g(x)在1,2上单调递增,所以g(x)e-20,所以g(x)在1,2上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得所以m-e或eme+1,所以m的最大值为e+1,无最小值.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若f(x)在(a,b)内存在导数,则“f(x)0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的_条件.【解析】对于导数存在的函数f(x),若f(x)0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数f

10、(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有f(x)b0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率为_.【解析】椭圆+=1(ab0)焦点在x轴上,设A.将x=代入椭圆方程得+=1,解得y=,因为OAF为等边三角形,则tanAOF=,所以=,化为:e4-8e2+4=0,0e1,所以e2=4-2,由0e1,解得e=-1.答案:-115.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为_.【解析】设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积

11、为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0x24).V=12(24-x)(8-x),令V=0,则在(0,24)内有x=8,故当x=8时,V有最大值.答案:816.下列语句:“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件;“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为真命题;命题“x0R,使得+x0+10”的否定是:“xR,均有x2+x+10”;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.其中说法错误的是_.【解析】因为当x=1成立时有x2=1成立;当x2=1时,不一定有x=1,所以“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件,故错误;“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为“x2时,有

12、x2-3x+20”,而x=1时,x2-3x+2=0,故错误;命题“x0R,使得+x0+10”的否定应为:“xR,均有x2+x+10”,故错误;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinxsiny,则xy”是真命题,故正确.答案:【误区警示】“否命题”与“命题的否定”如果原命题是“若p则q”,那么这个命题的否命题是“若非p,则非q”,而这个命题的否定是“若p则非q”.可见,否命题既否定条件又否定结论,而命题的否定只否定结论.一个命题与它的否定形式是完全对立的.两者之间有且只有一个成立.“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”,“至少有一个”的否定是“一个都没有”,“

13、所有的”的否定是“某些”,“任意”的否定是“某个”,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,“任意两个”的否定是“某两个”.“p且q”的形式,其否定应该为“非p或非q”,“p或q”的形式,其否定应该为“非p且非q”.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)命题p:方程+=1,(kR)表示双曲线,命题q:函数y=log2(kx2+kx+1)的定义域为R,若命题pq为真命题,pq为假命题,求实数k的取值范围.【解题指南】首先分别求出命题p,q为真命题时,实数k的取值范围,然后由真值表并结合已知条

14、件命题p,q的关系可得,命题p,q为一真一假,最后根据补集的思想可得出实数k的取值范围.【解析】命题p:由(k-3)(k+3)0,得-3k0对xR恒成立.(1)当k=0时,10,所以k=0符合题意.(2)当k0时,解得所以q:0k4,又因为pq为真命题,pq为假命题,所以或所以-3k0或3k4.18.(12分)如图,已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知点E(3,0),设点P,Q是椭圆C上的两个动点满足EPEQ,求的取值范围.【解析】(1)由离心率e=,得=,所以a=2b.因为原点O

15、到直线AB的距离为,直线AB的方程为bx-ay-ab=0,所以=.将代入,得b2=9,所以a2=36.则椭圆C的标准方程为+=1.(2)因为EPEQ,所以=0,所以=(-)=.设P(x,y),则y2=9-,所以=(x-3)2+y2=x2-6x+9+9-=(x-4)2+6.因为-6x6,所以6(x-4)2+681.故的取值范围为6,81.19.(12分)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(aR).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程.(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,求实数m的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f(x)

16、=-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2lnx-x2+m,则g(x)=-2x=.因为x,所以当g(x)=0时,x=1.当x0;当1xe时,g(x)0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,g(e)-g=4-e2+0,则g(e)g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得10.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x

17、)=x-=.因为k0,所以令f(x)=0得x=,列表如下:x(0,)(,+)f(x)-0+f(x)极小值减区间为(0,),增区间为(,+).当x=时,取得极小值f()=.(2)当1,即00,所以f(x)在区间(1,)上没有零点.当1,即1k0,f()=0,f()=0,此时函数没有零点.当,即ke时,f(x)在(1,)上单调递减,f(1)=0,f()=b0),然后由已知可得a,b,c之间的关系,求解即可.(2)首先联立直线与椭圆的标准方程,并消去y可得一元二次方程(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,然后由直线与椭圆相交于不同的两点可得其判别式0,再设M(x1,y1),N(x2,y2),

18、由根与系数的关系可得x1+x2,x1x2的值,即可得出MN的中点P的坐标,并结合已知条件可得等式3k2=2m-1,最后得出m的取值范围即可.【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的方程为:+=1(ab0),又椭圆的一个顶点为A(0,-1),离心率为,所以b=1,e=,即b=1,c=a,又a2=b2+c2,所以a2=1+a2,所以a2=3,所以椭圆的方程为:+y2=1.(2)联立消y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于不同的两点,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)0,得:3k2-m2+10,所以x1+x2=-,x1x2=,所以y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=,取MN的中点P,则点P,又=,则APMN,所以由直线MN的斜率k0知直线AP的斜率必存在,所以kAPk=k=-1,化简得3k2=2m-1,代入式得2m-1-m2+10,所以m2-2m0,所以0m2,所以m的取值范围是(0,2).【补偿训练】(2017梅州高二检测)如图所示,椭圆C:x2+=1(0m1)的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点,点P与点A关于点M对称.(1)若点P的坐标为,求m的值.(2)若椭圆C上存在点M,使得OPOM,求m的取值范围.【解题指南】(1)由题意知M是线段AP的中点,由中点