[高一数学]16三角函数模型的简单应用

1、1.6 三角函数模型的简单应用,自 学 导 引(学生用书P33),通过本节课的学习,了解三角函数模型在现实生活中的一些应用,学会用三角函数作为模型刻画现实中的一些周期现象,并能应用三角函数知识解决一些实际问题.,课 前 热 身(学生用书P33),1.如果某种变化着的现象具有_性,那么它就可以借助三角函数来描述.2.三角函数作为描述现实世界中_现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画_变化规律预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.3.我们可以利用搜集到的数据,作出相应的_,通过观察_并进行_而获得具体的函数模型,最后利用这个_来解决相应的实际问题.,周期,周期,周期,散点图,散点图,函

2、数拟合,函数模型,名 师 讲 解 (学生用书P33),1.三角函数模型的应用(1)根据图象求出函数解析式.(2)根据函数解析式作出图象.(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型.(4)利用收集的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.,2.解答三角函数应用题的一般步骤(1)审题:问题的给出一般是文字语言与图形语言,认真审题领悟其中的数字本质.(2)建立三角函数模型:根据“审题”获得的信息转化成抽象的数学问题,建立三角函数式或三角不等式或三角方程.(3)解决三角函数模型:应用所学的三角知识,解决数学问题.(4)作出结论:将得到的数学答案,依据实际问题作出相应的结论.,典

3、 例 剖 析(学生用书P33),题型一 利用三角函数的图象解决问题,例1:如果某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b,如图所示.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.,分析:利用y=Asin(x+)+b的图象和性质.,解:(1)观察图象知这一题中的最大用电量为50万度,最小用电量为30万度.(2)观察图象可知,半个周期为,规律技巧:确定函数关系式y=Asin(x+)就是确定其中的参数A等,从图象的特征上找答案,A主要由最值确定,是由周期确定,周期T通过特殊点观察图象求得,如相邻的最大值,最小值相差半个周期,又由图象上的点求得,确定

4、值时,要注意它的不惟一性,一般求|中最小的.,变式训练1:函数y=Asin(x+)(A0,0)的部分图象如下图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2008)的值等于( )C.0D.不能确定,解析:本题为图象信息题,由图象知周期为8.由图象的对称性知,f(1)+f(2)+f(8)=0.又2008=2518.原式=0.,答案:C,题型二 三角函数模型在物理学中的应用,例2:如下图所示,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m,风车圆周上一点A从最低点O开始运动ts后与地面的距离为hm.(1)求函数h=f(t)的关系式;(2)画出函数h=f(t)的图象.,分析:

5、本题具有周期性,可用函数y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b进行模拟.,解:(1)如上图,以O为原点,过点O的圆的切线为x轴,建立直角坐标系,设A点的坐标为(x,y),则h=y+0.5.,规律技巧:根据题目的特点,恰当的建立坐标系,可使问题简化,作图时如没有要求,可作出示意图.,变式训练2:如下图弹簧挂着的小球作上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是t0,+).画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,回答下列问题.,(1)小球开始振动的位置在哪里?(2)小球最高最低点与平衡位置的距离分别为多少?(3)经过多长时间小球往复振动一

6、次(即周期是多少)?(4)小球每1 s能往复振动多少次?,解:一个周期长度的图象如下图.,题型三 求模拟函数解析式 例3:受日月引力,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度y(m)是时间t(0t24,单位:h)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据: 经长期观察,y=f(t)曲线可以近似地看做函数y=Asint+k的图象.,(1)根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5 m或5 m以上认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面

7、距离)为6.5 m.如果该船在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?,分析:可先根据给出的数据在坐标系中作出散点图,再结合几点关键数据求出解析式,最后解决实际问题.,解:(1)根据数据画出散点图,如下图,则周期T=12,振幅A=3,k=10,y=3sin t+10(0t24).,12k+1t12k+5(kZ).在同一天内取k=0或1,则1t5或13t17.所以该船最早能在凌晨1时进港,最晚下午17时出港,在港口最多停留16小时.,规律技巧:许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数,然后就可以利用函数来解决一些问题.,变式训练3:已知某海滨浴场的海浪高度

8、y(米)是时间t(0t24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b,根据以上数据,函数的解析式为_.,易 错 探 究(学生用书P35),技 能 演 练(学生用书P35),基础强化,1.函数y=x+sin|x|,x-,的大致图象是( ),解析:由y=x+sin|x|知是非奇非偶函数,在0,上是增函数,故选C.,答案:C,2.如下图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s=6sin(2t那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.2 s B. sC.0.5 sD.1 s

9、,答案:D,3.要得到y=tan(2x- )的图象,只要将y=tan2x的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移 个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位,解析:y=tan(2x- )=tan2(x- ),将y=tan2x的图象向右平移 个单位即得y=tan(2x- )的图象.故选D.,答案:D,4.若AB是锐角ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,解析:AB是锐角三角形的两个内角,A+B90.B90-A.cosBcosA.,答案:B,5.如下图,表示电流强度I与时间t的关系为I=Asin(t+)(A0,

10、0)在一个周期内的图象,则该函数的解析式为( )A.I=300sin(50t+ )B.I=300sin(50t- )C.I=300sin(100t+ )D.I=300sin(100t- ),答案:C,6.函数y=-xcosx的部分图象是( ),解析:因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除AC.当x时,y=-xcosx0,排除B.,答案:D,7.在匀强磁场中,匀速转动的线圈所产生的电流强度I是时间t的正弦函数,关系式为则它的最大电流和周期分别为_.,答案:3,4,8.如下图是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是_.,能力提升,9.心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mm Hg为标准值.设某人的血压满足函数关系式P(t)=115+25 sin(160t),其中P(t)为血压(mm Hg),t为时间(min),试回答下列问题:,(1)求函数P(t)的周期;(2)此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值比较.(健康成年人的收缩压和舒张压一般为120140 mm Hg和6090 mm Hg).,(3)函数P(t)=115+25 sin(160t)的最大值是115+25=1