高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题学案（含解析）新人教A版必修5

1、33.2简单的线性规划问题简单的线性规划提出问题某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不少于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元问题1：设投资甲、乙两个项目的资金分别为x，y万元，那么x，y应满足什么条件？提示：问题2：若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？提示：z0.4x0.6y.问题3：x，y取值对利润z有无影响？提示：有导入新知线性规划的有关概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组

2、目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的二元一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题化解疑难1线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.2目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数3可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合求线性目标函数的最值例1(天津高考)设变量x，y满

3、足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()A4B6C10 D17解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过点A时z最小又知点A的坐标为(3,0)，zmin23506.故选B.答案B类题通法解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点活学活用(广东高考)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn等于()A8 B7C6 D5解析：选C作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点

4、A时，z的值最大，由则mzmax2213.当直线y2xz经过点B时，z的值最小，由则nzmin2(1)13，故mn6.求非线性目标函数的最值例2设x，y满足条件(1)求ux2y2的最大值与最小值； (2)求v的最大值与最小值解画出满足条件的可行域如图所示(1)x2y2u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小又C(3,8)，所以u最大值73，u最小值0.(2)v表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，3)

5、，所以v最大值，v最小值4.类题通法非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能收到事半功倍的效果(2)常见代数式的几何意义主要有： 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键活学活用已知变量x，y满足约束条件则的最大值是_，最小值是_解析：由约束条件作出可行域(如图

6、所示)，目标函数z表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率由图可知，点C与O连线斜率最大；点B与O连线斜率最小，又B点坐标为，C点坐标为(1,6)，所以kOB，kOC6.故的最大值为6，最小值为.答案：6已知目标函数的最值求参数例3(湖南高考)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_.解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z2xy，则y2xz，易知当直线y2xz过点A(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k6，k2.答案2类题通法求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法

7、求解同时要搞清目标函数的几何意义活学活用已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2C2 D3解析：选B画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，2a04，此时a2.简单的线性规划问题的实际应用例4(天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2

8、万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，它的图象是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大根据x，y满足的约束条件，由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐

9、标为(20,24)，所以zmax220324112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元 类题通法利用线性规划解决实际问题的步骤(1)设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；(2)列出约束条件，确立目标函数；(3)作出可行域；(4)利用图解法求出最优解；(5)得出结论活学活用铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元)解析：可设需购买A矿石x

10、万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为作出约束条件所表示的可行域(图略)目标函数为z3x6y，由图知当目标函数经过点(1,2)时目标函数取最小值，z最小值316215.答案：15典例(12分)某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24 立方米，总重量不能低于650 千克甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：货物每袋体积(单位：立方米)每袋重量(单位：百千克)每袋利润(单位：百元)甲5120乙42.510问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？解题流程规范解答活学活用有一批钢管，长度都是4

11、000 mm，要截成长为500 mm和600 mm的两种钢管，且这两种钢管的数量之比按大于配套，怎样截合理？解：设每根截500 mm的x根和600 mm的y根，则即作出可行域如图所示目标函数为zxy，作一组平行直线xyt，经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过B(8,0)点的直线，这时xy8，由x，yN*知(8,0)不是最优解，因此，在可行域内找整点，得到点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解，此时xy7.按照每根钢管来截，截500 mm的2根，600 mm的5根，或截500 mm的3根，600 mm的4根，或截500 mm的4根，600 mm的3根，或截5

12、00 mm的5根，600 mm的2根，或截500 mm的6根，600 mm的1根随堂即时演练1zxy在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A(0,1)B(1，1)C(1,0) D.解析：选C可以验证这四个点均是可行解当x0，y1时，z1；当x1，y1时，z0；当x1，y0时，z1；当x，y时，z0.排除选项A，B，D，故选C.2(广东高考)已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为()A3 B1C5 D6解析：选C由约束条件作出可行域如图由zx2y得yx，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线yx过直线x1和xy1的交点A(1，2)时，z最小，最小值为5，故选C.3(全国丙卷)设x，

13、y满足约束条件 则z2x3y5的最小值为_解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yx过点A时，z取得最小值，联立解得A(1，1)，即zmin2(1)3(1)510.答案：104已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于_解析：点P(x，y)满足的可行域为ABC区域，A(1,1)，C(1,3)由图可得，|PO|最小值|AO|；|PO|最大值|CO|.答案：5已知x，y满足约束条件求zx2y的最小值解：作出不等式组的可行域，如图所示画出直线l0：x2y0，平移直线l0到直线l的位置，使l过可行域内某点，且可行域内其他点都在l

14、的不包含直线l0的另外一侧，该点到直线l0的距离最小，则这一点使zx2y取最小值显然，点A满足上述条件，解得点A，z最小值2.课时达标检测一、选择题1目标函数z3xy，将其看成直线方程时，z的意义是()A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的纵截距的相反数D该直线的横截距解析：选C由z3xy得y3xz，在该方程中z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截距的相反数2现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()Az6x4yBz5x4yCzxy Dz4x5y解析：选A由题意，要运送最多的货物，先找到两类型

15、汽车运送的总货物量，即z6x4y.3在ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在ABC的内部及其边界上运动，则yx的取值范围为()A1,3 B3,1C1,3 D3，1解析：选C先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数zyx的取值范围由图求出其取值范围是1,34实数x，y满足不等式组则W的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P(x，y)与定点A(1,1)连线的斜率问题画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W表示阴影部分的点与定点A(1,1)的连线的斜率，由图可知点A(1，1

16、)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故W1.5某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨那么该企业可获得最大利润是()A12 万元 B20 万元C25 万元 D27 万元解析：选D设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有目标函数z5x3y.作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知，当x3，y4时可获得最大

17、利润27万元，故选D.二、填空题6如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z6x8y取得最大值的点的坐标是_解析：首先作出直线6x8y0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大答案：(0,5)7(全国甲卷)若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由zx2y得yxz.平移直线yx，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z3245.答案：58若目标函数zxy1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是_解析：先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数zxy1取得最大值的最优解有无穷

18、多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线xy20，且只有当n2时，可行域才包含xy20这条直线上的线段BC或其部分答案：(2，)三、解答题9已知关于x，y的二元一次不等式组(1)求函数u3xy的最大值和最小值；(2)求函数zx2y2的最大值和最小值解：(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由u3xy，得y3xu，得到斜率为3，在y轴上的截距为u，随u变化的一组平行线由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距u最大，即u最小解方程组得C(2,3)，u最小值3(2)39.当直线经过可行域上的B点时，截距u最小，即u最大，解方程组得B(2,1)，u最大值3215.u3xy的

19、最大值是5，最小值是9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由zx2y2，得yxz1，得到斜率为，在y轴上的截距为z1，且随z变化的一组平行线由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z1最小，即z最小解方程组得A(2，3)，z最小值22(3)26.当直线yxz1与直线x2y4重合时，截距z1最大，即z最大，z最大值x2y2426.zx2y2的最大值是6，最小值是6.10制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g，甲种烟花每枚可获利1.2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？解：根据题意，可列出下表：A药品(g)B药品(g)C药品(g)甲种烟花344乙种烟花2116原料限额120400240设每天生产甲种烟花x枚、乙种烟花y枚，获利为z美元，则目标函数z1.2x