高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型课后提升训练 新人教A版必修1

1、几类不同增长的函数模型(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.一辆汽车从甲地开往乙地,中途曾停车休息了一段时间,如果用横轴表示时间t,纵轴表示汽车行驶的路程s,那么下图中,较好地反映了s与t的函数关系的是()【解析】选C.由于中途停车休息,故此段时间内行驶路程不变且休息完后,路程s随时间t的增加继续增加.2.下面对函数f(x)=lox,g(x)=,与h(x)=在区间(0,+)上的递减情况说法正确的是()A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速

2、度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越慢D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快【解析】选C.观察函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢.【补偿训练】y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2xy2y3B.

3、y2y1y3C.y1y3y2D.y2y3y1【解析】选B.在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3.3.(2017鄂东高一检测)有一组实验数据如表所示:则最能体现这组数据关系的函数模型是()x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04A.y=2x+1-1B.y=x2-1C.y=2log2xD.y=x3【解析】选B.根据实验数据第一组(2.01,3),选项A,C,D显然不满足,故本题正确答案为B.4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利

4、润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数【解析】选D.对数型函数初期增长迅速,后来增长越来越慢.x12345y1.55.913.424.137【补偿训练】有一组实验数据如表所示:下列所给函数模型较适合的是()A.y=logax(a1)B.y=ax+b(a1)C.y=ax2+b(a0)D.y=logax+b(a1)【解题指南】结合表格中的数据,哪个函数的增长速度较快,对应函数模型较适合.【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而

5、B中的函数增长速度保持不变.5.(2017烟台高一检测)某饭店有n间客房,客房的定价将影响住房率,每间客房的定价与每天的住房率的关系如下表:每间客房的定价每天的住房率90元65%80元75%70元85%60元90%要使此饭店每天收入最高,则每间客房房价应定为()A.90元B.80元C.70元D.60元【解析】选B.由题知9065%n=58.5n(元),8075%n=60n(元),7085%n=59.5n(元),6090%n=54n(元),故选B.【补偿训练】某商店同时卖出两套西服,售价均为168元,以成本计算,一套盈利20%,另一套亏损20%,此时商店()A.不亏不盈B.盈利37.2元C.盈利

6、14元D.亏损14元【解析】选D.设这两套的成本分别是a,b,则a(1+20%)=168,b(1-20%)=168,解得:a=140,b=210,则a+b=350,350-336=14,故亏损14元.6.(2017银川高一检测)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系式用取整函数y=x(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()A.y=B.y=C.y=D.y=【解析】选B.设x=10m+(09),其中m=,当06时,=m=,当622%B.x22%C.x=22%D.x的大小由第一年的

7、产量确定【解析】选B.设第一年的产量为a,则第三年的产量为(1+44%)a=1.44a,所以a(1+x)2=1.44a,所以(1+x)2=1.44,所以x=0.2(负值舍去),即x22%.【补偿训练】某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是()A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减【解析】选A.设商品原来的价格为整体1,则四年后的价格为1(1+20%)(1+20%)(1-20%)(1-20%)=1.21.20.80.8=0.9216,又1-0.9216=0.0784,故价格减少了7.84%.8.(2017北京高一

8、检测)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法错误的是()A.投资3天以内(含3天),采用方案一B.投资4天,不采用方案三C.投资6天,采用方案一D.投资12天,采用方案二【解析】选D.由图可知,投资3天以内(含3天),方案一的回报最高,A正确;投资4天,方案一的回报约为404=160(元),方案二的回报约为10+20+30+40=100(元),都高于方案三的回报,B正确;投资6天,方案一的回报约为406=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元)

9、,都高于方案三的回报,C正确;投资12天,明显方案三的回报最高,所以此时采用方案三,D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(教材P98T2改编)某种病菌经30分钟繁殖为原来的两倍,且知病菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(小时),y表示病菌个数,则k=_,经过5小时,1个病菌能繁殖为_个.【解析】代入y=ekt得2=,所以k=ln2,k=2ln2,所以函数解析式为y=e2tln2=22t,令t=5,则1个病菌经5小时繁殖为y=210=1024(个).答案:2ln2102410.(2017广州高一检测)生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随

10、着时间的变化而变化,如图请选择与容器相匹配的图象,A对应_;B对应_;C对应_;D对应_.【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快-慢-快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4)(1)(3)(2)三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017阜阳高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5m3污水排出,为了净化环境,所以工厂设计两种方案进行

11、污水处理,并准备实施.方案1:工厂污水先净化处理后再排出,每处理1m3污水所耗原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案2:工厂污水排到污水厂统一处理,每处理1m3需付14元的排污费.(1)若工厂每月生产3000件产品,你作为厂长在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪种处理污水的方案,请通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件时,你作为厂长又该如何决策呢?【解题指南】应学会建立计算模型,(1)(2)两问统一.设工厂每月生产x件产品,每月利润为y元.分别求出依方案1和方案2处理污水时y与x的函数关系式,注意:利润=总收入-总支出.【解析】设工厂每月生产x件产品时,依方案1

12、的利润为y1,依方案2的利润为y2,则y1=(50-25)x-20.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-140.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000.因为y1y2,故应选择方案1处理污水.【补偿训练】函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).【解析】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当

13、xh(x)g(x);当1xg(x)h(x);当exf(x)h(x);当axh(x)f(x);当bxg(x)f(x);当cxf(x)g(x);当xd时,f(x)h(x)g(x).12.(2017杭州高一检测)某种高档奢侈品定价为60万元/件,不加收高消费税时,每月大约销售80件.若政府征收消费税,每销售100万元要征收p万元,此时每月销售量减少p件.(1)将政府每月对该商品征收的总税金y万元表示为p的函数,并求出这个函数的定义域.(2)若政府在此项经营中每月收取的税金不少于128万元,问税率p%应该怎样确定?(3)在政府每月可征收的税金不少于128万元的前提下,要让厂家获取最大销售金额,应如何确定p的值?【解析】(1)由题意知商品每月销售量为件时,y=p%60.因为80-p0,p0,所以0p12.所以该函数的定义域为(0,12).(2)令y128,即60p%128,解得4p8.因此4%p%8%.(3)由(2),知政府每月征收的税金不少于128万元时,4p8.又厂家的销售金额为60=-400p+4800.当p=4时,销售金额最大为3