高中数学 第一讲 坐标系 1.1 平面直角坐标系练习 新人教A版选修4-4

1、一平面直角坐标系课后篇巩固探究A组1.若点P(-2 015,2 016)经过伸缩变换后所得的点在曲线y=上,则k=()A.1B.-1C.2 016D.-2 016解析因为点P(-2 015,2 016),所以将其代入y=,得k=xy=-1.答案B2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x2+8y2=1,则曲线C的方程为()A.49x2+128y2=1B.49x2+64y2=1C.49x2+32y2=1D.x2+y2=1解析将伸缩变换代入x2+8y2=1中,得49x2+128y2=1,故曲线C的方程为49x2+128y2=1.答案A3.曲线y=sin经过伸缩变换后的曲线方程是(

2、)A.y=5sinB.y=sinC.y=5sinD.y=sin解析由伸缩变换将其代入y=sin中,得y=sin,即y=5sin.答案C4.导学号73574002已知平面内有一条固定的线段AB,|AB|=4.若动点P满足|PA|-|PB|=3,点O为线段AB的中点,则|OP|的最小值是()A.B.C.2D.3解析以AB的中点O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.2c=4,c=2.2a=3,a=.b2=c2-a2=4-.点P的轨迹方程为=1.由图可知,当点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是.答案A5

3、.点(2,3)经过伸缩变换后得到的点的坐标为.解析由伸缩变换公式即变换后的点的坐标为(1,9).答案(1,9)6.到直线x-y=0和直线2x+y=0的距离相等的动点的轨迹方程为.解析设动点的坐标为(x,y),则依题意有,整理得x2+6xy-y2=0.答案x2+6xy-y2=07.将椭圆=1按:变换后的曲线围成图形的面积为.解析设椭圆=1上任意一点的坐标为P(x,y),按变换后对应的点的坐标为P(x,y),由:将其代入椭圆方程,得=1,即x2+y2=1.因为圆的半径为1,所以圆的面积为.答案8.导学号73574003已知ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=5a2,BE,CF

4、分别为边AC,AB上的中线,则BE与CF的位置关系是.解析如图,以ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),F.设C(x,y),则E,所以kBE=-,kCF=.由b2+c2=5a2,得|AC|2+|AB|2=5|BC|2,即x2+y2+c2=5(x-c)2+y2,整理得2y2=(2x-c)(2c-x).所以kBEkCF=-1.所以BE与CF互相垂直.答案垂直9.已知在等腰梯形ABCD中,ADBC,BCAD,求证:|AC|=|BD|.证明取BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设A(-a,h),B(-b

5、,0),则D(a,h),C(b,0).所以|AC|=,|BD|=.所以|AC|=|BD|.10.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=2.解(1)由伸缩变换得将其代入5x+2y=0,得10x+6y=0,即5x+3y=0.故经过伸缩变换后,直线5x+2y=0变成了直线5x+3y=0.(2)将代入x2+y2=2,得经过伸缩变换后的图形的方程是=2,即=1.故经过伸缩变换后,圆x2+y2=2变成了椭圆=1.11.导学号73574004在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.(1)曲线y=2si

6、n变换为正弦曲线y=sin x;(2)圆x2+y2=1变换为椭圆=1.解(1)将变换后的曲线方程y=sin x改写为y=sin x.设满足题意的伸缩变换为将其代入y=sin x得y=sin x.将其即y=sin x,与原曲线的方程比较系数得所以满足题意的伸缩变换为即先使曲线y=2sin上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的,得到曲线y=2sin=2sin x,再将其纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,得到正弦曲线y=sin x.(2)将变换后的椭圆方程=1改写为=1.设满足题意的伸缩变换为将其代入=1,得=1,即x2+y2=1.将其与x2+y2=1比较系数得即所以满足题意的伸缩变换为

7、即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,得到椭圆=1.B组1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是()A.正方形B.矩形C.菱形D.正方形、菱形或矩形解析正方形在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则变换后的图形可能是菱形或正方形;若顶点在象限内,则变换后的图形可能是矩形或正方形.答案D2.到两定点的距离之比等于常数k(k0)的点的轨迹是()A.椭圆B.抛物线C.圆D.直线或圆解析以两定点A,B所在的直线为x

8、轴,以AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).设A(-a,0),B(a,0),P(x,y),|PA|=k|PB|.显然当k=1时,点P的轨迹是直线(即线段AB的中垂线);当k1,且k0时,代入两点间的距离公式化简可知点P的轨迹为圆.答案D3.在同一平面直角坐标系中,在伸缩变换:的作用下,仍是其本身的点的坐标为.解析设点P(x,y)在伸缩变换:的作用下得到点P(x,y),依题意得因为0,0,1,1,所以x=y=0,即P(0,0)为所求.答案(0,0)4.在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上的一点,且满足MPO=AOP.当点P在

9、l上运动时,则点M的轨迹E的方程是.解析如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|.因为MPO=AOP,所以动点M满足MPl或M在x轴的负半轴上.设M(x,y),当MPl时,|MP|=|x+2|,|OM|=,|x+2|=,化简得y2=4x+4(x-1).当M在x轴的负半轴上时,y=0(x-1).综上所述,点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x-1)或y=0(x-1).答案y2=4x+4(x-1)或y=0(x100,所以埋设地下管线l的计划不需要修改.6.导学号73574005圆C:x2+y2=4向着x轴均匀压缩,压缩系数为,在压缩过程中,圆上的点的横坐标保持不变.(1)求压缩后的曲线方程.(2)

10、过圆C上一点P()的切线,经过压缩后的直线与压缩后的曲线有何关系?解设圆上一点P(x,y),压缩后的点为P(x,y),则(1)将其代入x2+y2=4,得(x)2+(2y)2=4,即x2+4y2=4,则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.(2)因为点P()满足()2+()2=4,所以点P在圆上.故过点P的切线方程为x+y=4,压缩后变为x+2y=4,即x+2y=2,即压缩后的方程为x+2y=2.由联立得x2-2x+2=0,由=8-42=0,得直线x+2y=2与曲线x2+4y2=4相切.7.导学号73574006由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日甲舰在乙舰正东6 km处,丙舰在乙舰北偏西30,两舰相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距离商船远,因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援,则行进的方位角应是多少?解设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(3,0),B(-3,0),C