2011年高考数学最后压轴大题系列--立体几何

1、金太阳新课标资源网 2011年高考数学最后压轴大题系列立体几何1如图， AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB/EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1。 （1）求证：平面CBF； （2）设FC的中点为M，求证：OM/平面DAF； （3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为，求 （1）证明：由平面平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEF=AB，得CB平面ABEF，而平面ABEF，所以AFCB （2分）又因为AB为圆O的直径，所以AFBF， （3分）又BFCB=B，所以AF平面CBF （4分） （2

2、）证明：设DF的中点为N，连接AN，MN=则=则MN/AO，所以四边形MNAO为平行四边形， （6分）所以OM/AN，又平面DAF，平面DAF，所以OM/平面DAF。 （8分） （3）过点F作FGAB于G，因为平面ABCD平面ABEF，所以FG平面ABCD，所以 （9分）因为CB平面ABEF，所以 （11分）所以 （12分）2如图，在四棱锥中，侧棱底面，且，（） 在上求一点，使平面平面；APBPEPCPDPGP（） 求二面角的平面角的余弦值 （）解：取BC的中点E，连接AE，PE，AC，ED. 在中，得到，又，故为等边三角形， 从而. 底面，面， . 又，故平面PAE，而面PBC，所以平面平面

3、.（）解：由（）可得. 在中，. 同理可得，. 又，故. 过E点作EG垂直于PC， 垂足为G，连接DG，则，即为二面角的平面角.在中，, 于是，同理.在中，因此为等边三角形，故.在中，由余弦定理有，则二面角的平面角的余弦值为.3四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的大小证明：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得DBCAS（）由（）知，依题设，故，由，得，的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的我为4如图，在四棱锥中，底面， 是的中点（）证明；（）证

4、明平面；（）求二面角的大小 （）解法一：过点作，垂足为，连结则（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，得设，可得在中，则在中，所以二面角的大小是解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角由已知，可得，设，可得，于是，在中，所以二面角的大小是5如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点ABCDOF（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离证明：（）取中点，连结为正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，为二

5、面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由得，点到平面的距离为7如图，在边长的为1的正方体，ABCDA1B1C1D1中，E为AD中点. （1）求二面角EA1C1D1的平面角的余弦值； （2）求四面体BA1C1E的体积.解：（1）在边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AD中点，在A1D1上取中点F.连接EF过F点作FMA1C1于A1C1上一点M，连接EM，则EMF为二面角EA1C1D1的平面角.在A1C1D1中，FM=，又EFFM，EF=1二面角EA1C1D1的余弦值为.（6分） （2）在平面ABCD内，延长BA

6、至N点，使AN=，故NE/A1C1. NE/面BA1C1 8.如图，平面平面，直线与直线所成的角为60，又，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求多面体的体积证明：（）平面平面，平面平面又平面，（）取的中点，则连接、平面平面，平面平面，平面，从而平面作于，连结，则由三垂线定理知从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为60， 在中，由勾股定理得在中，在中，在中，故二面角的大小为（）多面体就是四棱锥9.在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，对角线AC,BD的交点为O，ABF为等边三角形，棱EFBC,EF= BC,AB=1,BC=2,M为EF的中点，求证：OM平面ABCD；求二面角ECDA的

7、大小；求点A到平面CDE的距离。解: 设P、Q分别为AB、CD的中点, 连接PQ, EQ, FP, 显然: P,O,Q共线;四边形EFPQ为等腰梯形; MOPQ, 又DCPQ, DCEQ , DC平面PQEF, CDMO, 则MO平面ABCD 由知: 二面角ECDA的平面角为EQP, 作ENPQ交PQ于N.则N为OQ的中点, cosEQP= = EQP=arcos AB平面EDC, DC平面PQEF 平面EFPQ平面ECDD过P作PHEQ, 则PH的长度即为A到平面ECD的距离 在PEQ中, ENPQ=PHEQ 即 2=PH PH= A到平面ECD的距离为 10 如图，平面PAD平面ABCD，

8、ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.1,3,5 （1）求证：PB面EFG； （2）求异面直线EG与BD所成的角； （3）在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，GHADEF，E，F，G，H四点共面. 又H为AB中点，EHPB. 又EH面EFG，PB平面EFG，PB平面EFG. （2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM/BD，EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所

9、成的角. 在RtMAE中， ， 同理，又GM=，在MGE中，故异面直线EG与BD所成的角为arccos， （3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，过点Q作QRAB于R，连结RE，则ORAD，ABCD是正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，ADAB，ADPA.又ABPA=A，AD平面PAB. 又E，F分别是PA，PD中点，EFAD，EF平面PAB.又EF面EFQ，面EFQ面PAB. 过A作ATER于T，则AT平面EFQ，AT就是点A到平面EFQ的距离. 设， 在， 解得 故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为0.8.11已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）

10、求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角的大小。2,4,6解：（I）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又所以平面；4分（II）因为，所以四边形为 菱形，故，又为中点，知。取中点，则平面，从而面面， 过作于，则面，在中，故，即到平面的距离为。9分（III）过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中，所以，在中，故二面角的大小为。14分12如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点（1）证明平面；AEBCFSD（2）设，求二面角的大小解：（1）作交于点，则为的中点连结，又，故为平行四边形，又平面平面所以平面（2）不妨设，则为等腰直角三角形取中点，连结，则又平面，所以

11、，而，所以面取中点，连结，则连结，则故为二面角的平面角所以二面角的大小为13、如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，第19题图、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点（）求证：平面平面；（）若平面，试求的值；（）当是中点时，求二面角的余弦值14、如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点（）求证：/平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小15、如图4，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，,于点 (1) 求证：； (2) 求直线与平面所成的角的余弦值.16、已知梯形ABCD中，ADBC，ABC =BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE

12、= x，G是BC的中点沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF （如图）.（1）当x=2时，求证：BDEG ；（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（3）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值答案：13、解：法1：（）连结，平面，平面，又，平面，又，分别是、的中点，平面，又平面，平面平面；-4分（）连结，平面，平面平面，故 -8分（）平面，平面，在等腰三角形中，点为的中点，为所求二面角的平面角， -10分点是的中点，所以在矩形中，可求得， -12分在中，由余弦定理可求得，二面角的余弦值为 -14分法2：（）同法1；（）建立如图所示的直角坐标系，则，设点

13、的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，故，平面，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点；故 -8分（），则，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，当是中点时，则，二面角的余弦值为-14分14、解法一：（）证明：，分别是线段，的中点，/ 2分又平面，平面，/平面 4分（）解：为的中点，且，又底面，底面 ， 又四边形为正方形， 又 ， 平面 7分又平面 ， 8分又 ，平面 9分（）平面，平面，平面平面，平面，平面平面，平面，分别是线段，的中点，/，平面平面，平面， 10分就是二面角的平面角 12分在中，所以二面角的大小为 14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，,， 2分（）证明：

14、，,平面，且平面， 4分 /平面 5分（）解：， ， 6分 8分，又， 平面9分（）设平面的法向量为, 因为，则取 12分又因为平面的法向量为所以 13分所以二面角的大小为 14分15、(1)证明： 平面，平面,.，平面,平面,平面.平面， 3分, ,平面,平面,平面.平面,. 6分（2）解法1：由（1）知，又， 则是的中点,在Rt中,得，在Rt中,得, .设点到平面的距离为，由， 8分得.解得， 10分设直线与平面所成的角为，则， 12分 . 直线与平面所成的角的余弦值为. 14分解法2： 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，. . 8分设平面的一个法向量为，由可得：令，得. 10分设直线与平面所成的角为，则. 12分.直线与平面所成的角的余弦值为. 14分16、（1）方法一：平面平面，xyzAEEF，AE平面，AEEF，AEBE，又BEEF，故可如图建立空间坐标系E-xyz ，又为BC的中点，BC=4，则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），（2，2，2），（2，2，0），（2，2，2）（2，2，0）0，4分方法二：作DHEF于H，连BH，GH， 由平面平面知：DH平面EBCF，而EG平面EBCF，故EGDH为平行四边形，且H，四边形BGHE为正方形，EGBH，BHDHH，故EG平面DBH