高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角学案（含解析）新人教A版必修4

1、11.1任意角角的分类提出问题问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了720或逆时针方向旋转了720，顺时针方向旋转了900.导入新知角的分类1按旋转方向名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2.按角的终边位置(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限

2、化解疑难1任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字要明确旋转方向；要明确旋转角度的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置2象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.终边相同的角提出问题在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30，390，330.问题1：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同问题2：如何用含30的式子表示390和330？提示：390136030，330136030.问题3：

3、确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一导入新知终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和化解疑难所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k360，kZ表示，在运用时需注意以下几点(1)k是整数，这个条件不能漏掉(2)是任意角(3)k360，kZ与之间用“”连接，如k36030，kZ应看成k360(30)，kZ.(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同象限角的判断例1已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几

4、象限角(1)75；(2)855；(3)510.解作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图可知：75是第四象限角(2)由图可知：855是第二象限角(3)由图可知：510是第三象限角类题通法象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0360范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角活学活用在直角坐标系中，作出下列各角，在0360范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角(1)360；(2)720；(3)2 012；(4)120.解：如图所示，分别作出各角，可以发现：(1)3600360，(

5、2)72002360，因此，在0360范围内，这两个角均与0角终边相同所以这两个角不属于任何一个象限(3)2 0122125360，所以在0360范围内，与2 012角终边相同的角是212，所以2 012是第三象限角(4)120240360，所以在0360范围内，与120角终边相同的角是240，所以120是第三象限角终边相同的角的表示例2(1)写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合解(1)与角1 910终边相同的角的集合为.720360，7201 91

6、0k360360，3k6，故k4,5,6.k4时，1 9104360470.k5时，1 9105360110.k6时，1 9106360250.(2)在0360范围内，终边在直线y0上的角有两个，即0和180，因此，所有与0角终边相同的角构成集合S1|0k360，kZ，而所有与180角终边相同的角构成集合S2|180k360，kZ，于是，终边在直线y0上的角的集合为SS1S2|k180，kZ由图形易知，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个，即135和315，因此，终边在直线yx上的角的集合为S|135k360，kZ|315k360，kZ|135k180，kZ终边在直线yx上的角的集合为

7、|45k180，kZ，结合知所求角的集合为S|45k180，kZ|135k180，kZ|452k90，kZ|45(2k1)90，kZ|45k90，kZ(3)终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ，终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ，故阴影部分角的集合可表示为|30k360135k360，kZ类题通法1常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍2区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起

8、始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，写出所有与，终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合活学活用1将下列各角表示为k360(kZ,0360)的形式，并指出是第几象限角(1)420；(2)495；(3)1 020.答案：(1)42060360第一象限角(2)4952252360第三象限角(3)1 0203002360第四象限角2已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角的取值范围答案：|30k180105k180，kZ确定n及所在的象限例3若是第二象限角，则2，分别是第几象限角？解(1)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，180k72023

9、60k720(kZ)，2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上(2)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，45k18090k180(kZ)当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)，即是第一象限角；当k2n1(nZ)时，225n360270n360(nZ)，即是第三象限角故是第一或第三象限角类题通法1n所在象限的判断方法确定n终边所在的象限，先求出n的范围，再直接转化为终边相同的角即可2.所在象限的判断方法已知角所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；被n除余n1.从而得

10、出结论(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据终边所在的象限确定的终边所落在的区域如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出活学活用已知角为第三象限角，试确定角2，分别是第几象限角答案：2可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角可能是第二象限角或第四象限角典例下列说法中正确的是()A三角形的内角必是第一、二象限角B第一象限角必是锐角C不相等的角终边一定不相同D若k360(kZ)，则和终边相同解析90角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限

11、角；390角是第一象限角，但它不是锐角；390角和30角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确对于D，由终边相同的角的概念可知正确答案D易错防范1若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限若忽视此点，则易错选A.2锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380角为第一象限角，但它不是锐角若混淆这两个概念，则易误选B.3当角的范围扩充后，相差k360(kZ)的角的终边相同若忽视此点，易错选C.4解决好此类问题应注意以下三点：(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容(2)弄清锐角和象限角的区别(3)对角的认识不能仅仅局限于0360.成功

12、破障下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中正确命题的序号为_答案：随堂即时演练1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角的大小是()A120B120C240 D240答案：D2与457角的终边相同的角的集合是()A|457k360，kZB|97k360，kZC|263k360，kZD|263k360，kZ答案：C3下列说法中正确的序号有_65是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角答案：4在0360范围内与1 050终边相同的角是_，它是第_象限角答案：30

13、一5.试写出终边在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式180180的元素写出来答案：S|120k180，kZ适合不等式180180的元素为60，120课时达标检测一、选择题1435角的终边所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D2终边在第二象限的角的集合可以表示为()A|90180B|90k180180k180，kZC|270k180180k180，kZD|270k360180k360，kZ答案：D3若是第四象限角，则一定是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案：A4集合M|k90，kZ中各角的终边都在()Ax轴非负半轴上By轴非负半轴上Cx轴或y轴上Dx轴非负半轴或y轴非负半轴上答案：C5角与角的终边关于y轴对称，则与的关系为()Ak360，kZBk360180，kZCk360180，kZDk360，kZ答案：B二、填空题6已知角3 000，则与角终边相同的最小正角是_答案：2407如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是_度，分针所转成的角度是_度答案：5608已知角2的终边在x轴的上方，那么是第_象限角答案：一或三三、解答题9如果为小于360的正角，这个角的4倍角的终边与这个角的终边重合，求的值解：由题意得4k360，kZ，3k360，k120，又0360